Ένας οδηγός του Χάους γιά αρχάριους
Εισαγωγή
Στον αιώνα που μας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι μεγάλες επιστημονικές επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική και η θεωρία του Χάους. Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την αρχή της αιτιότητας και η τρίτη διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, πως από παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά συμπεράσματα.
Η λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Αλλη η έννοια του χάους στην θρησκεία ή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία ή στην σημερινή εποχή μας (χάος=διάλυση, σύγχυση, μπάχαλο, αταξία κλπ) ή ακόμη και στην αναπαράσταση του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot και άλλη η έννοια του χάους στην επιστήμη.
Στην επιστήμη το χάος ορίζεται σαν την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της κίνησης από τις αρχικές συνθήκες. Η απρόσμενη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες είναι το στοιχείο του χάους - της αταξίας- που εκδηλώνεται σε μια τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Δηλαδή αναλυτικώτερα, χάος είναι η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ' ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος.
Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθήσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.
Ετσι όμως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία
Τα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, είναι πολλά. Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες και απρόβλεπτες δίνες. Η ροή του νερού που στάζει από μια βρύση. Το νερό των κυμάτων που σκάζουν πάνω σε μια ακτή.
Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς.
Αλλά τα παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην ροή του νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους συνυπάρχει το χάος.
Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας. Οι μαθηματικοί, φυσικοί, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί αναζητούσαν συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας. Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από την χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων οι μαθηματικοί του χάους ζητήσανε να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της καθημερινής ζωής. Τις αλλαγές του καιρού. Τις διακυμάνσεις στους πληθυσμούς των αγρίων ζώων. Την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο. Αναπαριστούν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενεα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε computer. Κι ανακαλύπτουν την κρυφή τάξη που τα ορίζει.
Ετσι οι φυσιολόγοι βρήκαν μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Οι οικολόγοι ερεύνησαν την εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Οι οικονομολόγοι εξέταζαν τις τιμές κάποιων προϊόντων. Οι μετεωρολόγοι εξέταζαν το σχήμα των νεφών, τις διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Και οι αστροφυσικοί πως ομαδοποιούνται τα άστρα σε γαλαξίες.
Στην αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο Ηλιακό σύστημα, --παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα-- προκαλεί ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στο σχηματισμό του Ηλιακού συστήματος. Ετσι γρήγορα οι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος στην εφαρμοσμένη επιστήμη από την θεωρητική που μέχρι τότε έκαναν.
Μπορεί όμως το χάος να χαρακτηρίζει τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τα κοινωνικά, τα πολιτικά και τα βιολογικά δυναμικά συστήματα, αλλά από φιλοσοφικής πλευράς ζούμε σε μια όαση τάξης μέσα σ' ένα ωκεανό χάους: Από τη μια το χάος της απροσδιοριστίας στο μικρόκοσμο και από την άλλη η χαοτική δυναμική του μακρόκοσμου, με τους πλανήτες να κινούνται σε απρόβλεπτες τροχιές.
Αίφνης η κίνηση των κυμάτων που σκάνε σε μια ακτή. Η κίνηση αυτή δημιουργεί ένα άγριο κουβάρι από τροχιές και περιδινήσεις, που περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να 'χουν μια μορφή, μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν παράξενος ελκυστής (strange attractοr).
'Ενα άλλο παράδειγμα είναι το παιχνίδι φλιπεράκι, όπου οι κινήσεις τής μπάλας προσδιορίζονται ακριβώς από τους νόμους τής κύλισης υπό την επίδραση τής βαρύτητας και τής ελαστικής κρούσης -και οι δύο πλήρως κατανοητοί-, αλλά το τελικό αποτέλεσμα είναι μη προβλέψιμο.
Το χάος σαν ιστορία
Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου αιώνα (μην ξεχνάμε βρισκόμαστε στον 21ο αιώνα) η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού δεν υπήρχαν computer για περισσότερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς.
Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare (1854 - 1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνιας μηχανικής, και να αποτελέσει έτσι τη γέννηση ενός νέου κλάδου της επιστήμης: του Χάους.
Συγκεκριμμένα ο Poincare διαπίστωσε πως το πρόβλημα των τριών σωμάτων (μελέτησε το πρόβλημα του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης) ήταν και παραμένει άλυτο. Αρα, δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού δέχεται την επίδραση του Ηλιου και άλλων οκτώ πλανητών.
Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα και μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι' αυτό και διατύπωσε την άποψη "Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα".
Η γέννηση του χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια απο τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης. Το 1954 πρώτος την κατανόησε ο σοβιετικός επιστήμονας A.Kolmogorov και ακολούθησαν και άλλοι.
Ο πρώτος όμως που διέκρινε πως η επανάληψη (iteration) γεννά το χάος, ανήκει στον Αμερικανό μετεωρολόγο Edward Lorenz που εργαζόταν στο MIT. Στα μέσα του χειμώνα 1961, εργαζόταν στον υπολογιστή του ΜΙΤ για να λύσει μερικές μη γραμμικές εξισώσεις που περιέγραφαν το μοντέλο της γήινης ατμόσφαιρας.
Κάποια ημέρα για να ελέγξει μια πρόγνωση που είχε πάρει από τον υπολογιστή, ξαναέδωσε τα δεδομένα του για τη θερμοκρασία, την ατμοσφαιρική πίεση και τη διεύθυνση του ανέμου αλλά αυτή τη φορά με στογγυλοποιημένους αριθμούς. Και περίμενε να του βγάλει ο υπολογιστής την ίδια πρόγνωση. Το αποτέλεσμα όμως τον σόκαρε. Τα νέα αποτελέσματα ήταν τελείως διαφορετικά. Αμέσως κατάλαβε πως η μεγένθυση των διαφορών οφείλεται στο συνδυασμό μη γραμμικότητας και επανάληψης. Για την ιστορία, αναφέρουμε πως αντί να βάλει τον αριθμό 0.506127 με έξι δεκαδικά ψηφία, έβαλε 0.506. Με μία έννοια ήτα απόλυτα λογική σκέψη.
Στην εικόνα φαίνεται μια εκτύπωση που πήρε ο Lorenz το 1961. Από το ίδιο σημείο εκκίνησης ο Lorenz είδε τον καιρό που έδινε ο υπολογιστής της IBM να δημιουργεί σχήματα που εξελλίσονταν όλο και πιό διαφορετικά μέχρι που κάθε ομοιότητα εξαφανίστηκε.
Στον ίδιο, τον Lorenz οφείλεται και η θεωρία για την πεταλούδα που πετάει στο Χονγκ-Κονγκ και μπορεί να δημιουργήσει καταιγίδα στη Νέα Υόρκη. Ξαφνικά οι επιστήμονες συνειδητοποίησαν πως σε αιτιοκρατικά δυναμικά συστήματα, η δυνατότητα γέννησης χάους (μη προβλεψιμότητας) παραμονεύει σε κάθε λεπτομέρεια.
Η ονομασία όμως Θεωρία του Χάους οφείλεται στον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Maryland Jim York μόλις το 1975. Μια θεωρία που συνεχώς εξελίσσεται κυριεύοντας όλους τους τομείς της επιστημονικής έρευνας: από την διαστημική έως τη δυναμική των υγρών, τις ακτίνες laser έως τις χημικές αντιδράσεις, από τις τηλεπικοινωνίες (λευκός θόρυβος της γραμμής) έως την καρδιολογία, από την οικονομία έως την νευροφυσιολογία. Αλλά ενδιαφέρει τελευταία και τους μουσικούς, τους συγγραφείς, τους ψυχαναλυτές και άλλους πολλούς.
Ελκυστές-υπολογισμός του χάους
Μελέτη του Χάους
Η μελέτη του χάους προϋποθέτει τη χρήση της 'γλώσσας' των μαθηματικών.
Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς που είναι το κλασικό παράδειγμα στο μάθημα της φυσικής. Μετά από μια ώθηση, κινείται μπρος-πίσω μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος - σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, αυτό θα έλκεται από αυτό το σημείο. Δεν διαθέτουν όλα τα συστήματα ένα τέτοιο σημείο, Μερικά έχουν τόσο πολύπλοκη δόμηση και συμπεριφορά, ώστε να καταλήγουμε να μιλάμε για "χώρους" έλξης.
Εδώ πρέπει να ξαναμιλήσουμε για διαστάσεις. Οι διάφορες παράμετροι της συμπεριφοράς του εκκρεμούς μπορούν να οριστούν σαν άλλες διαστάσεις. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις, οι τρεις του χώρου (x,y,z) και ο χρόνος. Αν το ίδιο το εκκρεμές είναι μια ανεστραμμένη αλατιέρα, τότε το βάρος του θα αλλάζει καθώς θα χύνεται το αλάτι. Το βάρος γίνεται η πέμπτη διάσταση. Τώρα πρέπει να κάνετε μια κίνηση εμπιστοσύνης προς τα μαθηματικά. Να θεωρήσετε τον πενταδιάστατο αυτό χώρο σαν σύστημα αναφοράς, οπότε η συμπεριφορά ενός συστήματος θα περιγράφεται σαν μια τροχιά που διαγράφεται σε αυτόν τον ιδεατό χώρο.
Ενα από τα βασικά χαρακτηριστικά του χάους είναι τα παράξενα .'σημεία έλξης" που διαθέτει. Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα, Αυτό δεν είναι εύκολο - σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους.
Ελκυστές
Στην κλασική μηχανική, η συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος μπορει να περιγραφει γεωμετρικα ως κίνηση προς έναν ελκυστή. Οι ελκυστές θεωρούνται ότι είναι σημεία, καμπύλες, στερεά που ακριβώς έλκουν ένα συγκεκριμμένο φαινόμενο. Σε ένα ταλαντούμενο σώμα ο ελκυστής είναι το κατώτατο σημείο που σταματάει. Ο ελκυστής του αριθμού των ψαριών μιας μολυσμένης θάλασσας μπορεί να είναι το μηδέν, η έλλειψη της ζωής. Στα μαθηματικά της κλασικής μηχανικής ήταν γνωστοί τρεις τύποι ελκυστών: μεμονωμένα σημεία (που χαρακτηρίζουν σταθερές καταστάσεις) , κλειστοί βρόχοι (περιοδικές κινήσεις σε «κύκλους») και δακτύλιοι ( συνδυασμοί διαφόρων «κύκλων» ).
Ο Ελκυστής του Lorenz. Αυτή η εικόνα έγινε το σύμβολο του Χάους στα πρώτα χρόνια. Αποκαλύπτει τη μικροσκοπική δομή που ήταν κρυμμένη μέσα σε μια άτακτη ροή δεδομένων. Είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς μεταβλητές. Κάθε στιγμή, οι τρείς μεταβλητές προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στον τρισδιάστατο χώρο. Καθώς το σύστημα μεταβάλλεται, η κίνηση του σημείου θα παριστάνει τις συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές. Επειδή το σύστημα δεν επαναλαμβάνεται από μόνο του, η τροχιά δεν τέμνει τον εαυτό της ποτέ, αλλά δημιουργεί βρόχους επ'αόριστον. Η απεικόνιση αυτή εμφανίζει ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας. Η μορφή αυτή μοιάζει σαν δύο φτερά μιας πεταλούδας ή σαν ένα είδος διπλής έλικας. Το σχήμα φανερώνει μια καθαρή αταξία, αλλά και ένα νέο είδος τάξης.Κατά την δεκαετία τού 1960 ανακαλύφθηκε από τον Αμερικανό μαθηματικό Stephen Smale μια νέα τάξη παράξενων ελκυστών προς τους οποίους η δυναμική είναι χαοτική .Αργότερα διαπιστώθηκε ότι οι παράξενοι ελκυστές έχουν λεπτομερή δομή σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Αμεσο αποτέλεσμα αυτής τής διαπίστωσης ήταν η ανάπτυξη τής έννοιας του fractal (μίας τάξης πολύπλοκων γεωμετρικών σχημάτων που όλα παρουσιάζουν την ιδιότητα τής αυτοομοιότητας), που με την σειρά του οδήγησε σε αξιοσημείωτες εξελίξεις στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή.
Υπολογισμός του Χάους
Αλλά αν έχετε ακόμη πρόβλημα με το τι είναι το Χάος, σας λέμε πως το Χάος δεν σχετίζεται με περίπλοκα συστήματα και αφηρημένες έννοιες --μπορείτε να τα δείτε με αριθμούς. Προσπαθήστε να υπολογίσετε την επαναληπτική συνάρτηση: 2x2 - 1, με μια αρχική τιμή για το x μεταξύ του 0 και του 1.
Αν δεν είστε εξοικιωμένοι με την ιδέα των επαναληπτικών συναρτήσεων, σας λέμε πως αυτό σημαίνει πως λαμβάνεται την τιμή της συνάρτησης που πήρατε για κάποια τιμή του x και την τιμή αυτή την τοποθετείται στη θέση του x για να ξεκινήσετε εκ νέου την ίδια διαδικασία, υπολογισμός της συνάρτησης κλπ.Μπορείτε να το κάνετε με ένα υπολογιστήρι ή με ένα πρόγραμμα στο computer ή να χρησιμοποιήσετε ακόμη και ένα spreadsheet (φύλλο λογιστικής).
Για να γίνει επιλέγει η αρχική τιμή x=0.75. Το ενδιαφέρον όμως στην περίπτωση μας είναι πως αν διαλέξετε μια τιμή πολύ κοντά στην αρχική τιμή πχ 0.74999, και κάνετε το γράφημα, εσείς θα διαπιστώσετε πως είναι μεν αρχικά όμοιο με το πρώτο αλλά μετά γίνεται τελείως διαφορετικό. Αυτό εν ολίγοις, μας λέει πως οι αρχικές συνθήκες σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούν να αλλάξουν ριζικά προς τα που θα πάει το σύστημα μας. Θυμείτε την πεταλούδα, που το πέταγμα της φέρνει θύελλες στην άλλη άκρη της Γης.
Θεωρητικοί του Χάους
EDWΑRD LORENZ. Ολα άρχισαν από τον Αμερικανό μετεωρολόγο Edward Lorenz, ο οποίος δημοσίευσε σε ένα ασήμαντο μετεωρολογικό περιοδικό του 1963 μια μελέτη. Αναρωτιόταν γιατί δεν μπορούμε να προβλέψουμε τον καιρό πάνω από 5 μέρες και χρησιμοποιούσε τρεις μη-γραμμικές εξισώσεις για να ερμηνεύσει τις καιρικές αλλαγές.
Αυτές τις εξισώσεις, με τη βοήθεια ενός στοιχειώδους γραφιστικού αναπαραγωγέα, τις έβαλε σε ένα πρωτόγονο κομπιούτερ της εποχής και δημιούργησε μια αναπαράσταση στην οθόνη. Η ιστορία μας λέει πως έπαθε σοκ. Η αναπαράσταση έμοιαζε μάλλον με συμμετρική καρναβαλίστικη μάσκα του ντόμινο. Πράγμα που σημαίνει ότι υπήρχε κρυμμένη δομή στο χάος. Μια απώτερη τάξη στην οποία υπάκουαν τα σύννεφα και οι άνεμοι.
Η δομή αυτή, που όπως είπαμε ονομάζεται «παράξενη έλξη» (παράξενη, γιατί είναι ανεξέλεγκτη), προέρχεται από το γεγονός ότι η συμπεριφορα αυτών των συστημάτων (του καιρού, των κυμάτων...) δεν είναι απολύτως τυχαία, αλλά παλινωδεί ανάμεσα σε πολύ συγκεκριμένα όρια. Οτι είναι δηλαδή ένα χάος ελεγχόμενο - μια παράξενη κατάσταση ανάμεσα στο προβλεπόμενο και το τυχαίο.
ΙLΥΑ PRIGOGINE. Στα ίδια συμπεράσματα οδηγήθηκε κι ένας σπουδαίος χημι κός - μαθηματικός. Ο Ιλιά Πριγκοζίν. Είπε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί βρίσκουν εν τέλει τάξη και νόμο, ζώντας μέσα σε ένα κόσμο που τρεκλίζει - κι ότι αυτή η τάξη βγαίνει από χημικά συστήματα ανισόρροπα και πολύπλοκα - δηλαδή χαοτικά.
Είπε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες δυνάμεις, που οι επιστήμονες ώς τώρα θεωρούσαν αμελητεες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν' αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα.
Το ανοιγόκλειμα των φτερών μιας πεταλούδας στην Αθήνα μπορεί λοιπόν να προκαλέσει καταιγίδα στο Τόκιο - αλλά το θέμα δεν είναι αυτό. Είναι ότι με τις νέες θεωρίες, ο άνθρωπος χάνει το μονοπώλιο της δημιουργίας, την ψευδαίσθηση ότι ελέγχει τη φύση μέσω της λογικής, την ανακούφιση ότι ο Θεός δεν παίζει ζάρια με το σύμπαν.
Τώρα όλα είναι χάος - χάνονται και ξαναβρίσκονται καινούρια. Η πορεία του κόσμου δεν είναι μια προβλέψιμη κίνηση, αλλά μια τεθλασμένη γραμμή που διαρκώς λυγίζει από το τυχαίο και δεν μπορεί ποτέ να γυρίσει προς τα ασφαλή μετόπισθεν. Ποτάμι χωρίς επιστροφή.
RENE ΤΗΟΜ. Τα προηγούμενα μας φέρνουν κοντά στη (συγγενική με το χάος) θεωρία των καταστροφών του Rene Thom. Τη θεωρία που ψάχνει μια κρυφή μαθηματική αρχή πίσω από κάθε βιολογική αλλαγή. Με σκοπό, να εξηγήσει τις ξαφνικές αστάθειες σε σχετικά σταθερά συστήματα. Το γιατί π.χ. συμβαίνουν σεισμοί, ή γιατί αλλάζει το σχήμα ενός σύννεφου.
Η λεξη καταστροφή εδώ, δεν είναι κυριολεκτική. Μιλάει για εκείνη την απειροελάχιστη στιγμή όπου όλα παίζονται κι η αλλαγή συντελείται - και την οποία ο Thom αναπαριστά με σπείρες και χελιδονοουρές, σχήματα που δεν υπάρχουν στη φύση και δύσκολα καταλαβαίνονται.
Η θεωρία αυτή ξαναήλθε στην επιφάνεια στη δεκαετία του '60. Ο Thom παρατήρησε κάτι που το βρίσκουμε και στον Ηράκλειτο. Η εξέλιξη του κόσμου γίνεται μέσα από τις αλλαγές της μορφής. Μόνο που η διαδοχή αυτών των μορφών χαρακτηρίζεται από ασυνέχεια. O Rene Thom κατέταξε όλες τις μορφές των απότομων αλλαγών-ασυνεχειών σε επτά κατηγορίες. Οι συνεχιστές της θεωρίας αυτής επεξέτειναν την θεωρία σε ό,τι έβλεπαν να κινείται και να παρουσιάζει ταυτόχρονα απότομες αλλαγές. Πχ γέννηση των βιολογικών μορφών (κύτταρα), μια κοινωνική αλλαγή, μια στάση κρατουμένων, μια πτώση ενός καθεστώτος, την πτώση της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, ακόμη και ψυχολογικές αρρώστειες (πχ εφηβική ανορεξία) που εμφανίζουν καταστροφικές συμπεριφορές με απότομες ψυχολογικές κρίσεις και μεταπτώσεις πχ στην anorexia nervosa οι έφηβοι κινούνται ανάμεσα στην δίαιτα και την βουλιμία. Στην θεωρία αυτή όλα γίνονται αντικείμενο μελέτης με μαθηματικούς τύπους.
ΒΕΝΟΙΤ ΜΑΝDΕLΒRΟΤ . Αλλά εκείνος που θεωρείται ιδρυτής της θεωρίας του χάους είναι ο Γάλλος μαθηματικός της ΙΒΜ Μπενουά Μαντελμπρό. Αυτός εφεύρε πριν 25 χρόνια την κλασική Γεωμετρία (Fractal geometry), η οποία στη θέση των καθαρών και συγκεκριμένων γραμμών της ευκλείδειας, εισάγει μια νέα έννοια της διάστασης που μας επιτρέπει να μετρήσουμε την αταξία, και το ακανόνιστο ενός αντικειμένου.
Είναι μια νέα γεωμετρία, που μπορεί να αναπαραστήσει τις ατέλειωτες αντιθέσεις και στρεβλώσεις των φυσικών μορφών (της πλαγιάς ενός ηφαιστείου, του φύλλου μιας φτέρης, του πνεύμονα ενός εμβρύου...) στην οθόνη ενός κομπιούτερ.Το ιδιοφυές της κλασματικής γεωμετρίας είναι: α) ότι τα σχήματα δημιουργούνται στον κομπιούτερ με την επανάληψη εις άπειρον μιας απλής μαθηματικής πράξης (δες π.χ. τη νιφάδα του Κοχ, στο σχήμα) και β) ότι ο βαθμός αταξίας ενός αντικειμένου παραμένει ο ίδιος σε κάθε κλίμακά του - στα μέρη και το όλου.
Η παιγνιώδης (και πιο γνωστή) εφαρμογή της κλασματικής γεωμετρίας έγινε από τον ίδιο το Mandelbrot πάνω στα κομπιούτερ της ΙΒΜ. Είναι το Mandelbrot Set - μια κλασματική εικόνα στο κομπιούτερ που όσο κι αν την μεγεθύνσεις, τόσο πιο σύνθετα και ψυχεδελικά σύμπαντα θα ανακαλύψεις. Το ίδιο άτακτα όπως η αρχική εικόνα, το ίδιο ανεξάντλητα όπως η θάλασσα.
Αντίθετα, η θεωρία του χάους δεν είναι τόσο απλή - και σίγουρα είναι κάτι παραπάνω από ένας νέος τρόπος για να κωδικοποιείς τη φύση. Στρέφει την επιστήμη σε ένα καινούριο δρόμο, πολύ πιο συμφιλιωμένο με την πραγματικότητα και (φιλοσοφικά τουλάχιστον, γιατί τα μαθηματιιcά της, ελάχιστοι τα κατα λαβαίνουν) συμφιλιώνει και τον άνθρωπο με το μέσα του χάος.
Γιατί και η καρδιά είναι ένα χαοτικό σύστημα. Χτυπάει ανεξέλεγκτα, τυφλά - κι όμως υπακούει κι αυτή σε ένα μαθηματικό νόμο.
Ποιον; Το νόμο του χάους. Τη γνώση της ελεγχόμενης αταξίας : Τη γνώση ότι το μάταιο σκόρπισμα, το διαρκές ξέφτισμα της ζωής δεν είναι εν τέλει τόσο μάταιο, ούτε και τόσο εντροπικό. Ολα λοιπόν υπακούνε σε μια κρυφή, άπιαστη τάξη.
Fractal και σύνολα Madelbrot-Julia
Fractal
Σχεδόν ο καθένας μας έχει θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια, περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια τα computers αφού είναι σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης.Πολλοί άνθρωποι τα βλέπουν δίχως να γνωρίζουν τι είναι αυτές οι φανταστικές έγχρωμες εικόνες και πως δημιουργούνται. Μερικοί έχουν ακούσει πως υπάρχει κάποια σύνδεση τους με ορισμένα φυσικά αντικείμενα δίχως να πολυκαταλαβαίνουν ποιά σύνδεση εννοείται.
Οι περισσότεροι από μας όταν ακούνε σχέδια ή σχήματα έχουν στο μυαλό τους κάποια ευκλείδια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα fractals διαφέρουν από αυτά σε δύο παράγοντες:
1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς ευατόν. Ετσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγενθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.
Τα Fractal είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που έχουντην ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Τα Fractal διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας - το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα κ.λπ.
Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανομοιόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία.Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον πολωνικής καταγωγής μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος τού οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τον αδικοχαμένο Στ.Πνευματικό και τον καθηγητή Ι.Νίκολη.
"Η προς εαυτόν ομοιότητα" και η "χαμηλή περιεκτικότητα πληροφοριών" είναι δύο βασικά χαρακτηριστικά των fractals.
Μολονότι όλα τα Fractals δεν έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας ή δεν την έχουν ακριβώς, τα περισσότερα την επιδεικνύουν.Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη τών ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και, στην περίπτωση καθαρά αφηρημένων οντοτήτων, είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο.
Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, έχει δηλαδή συμμετρία κλίμακας. Αυτό το φαινόμενο μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί, στις νιφάδες τού χιονιού ή στον φλοιό τών δένδρων.
Η νιφάδα του Koch έχει διάσταση fractal μη ακλέραιη. Η τελική εικόνα που προκύπτει έχει άπειρο μήκος αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν μικρότερο από αυτό του περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο.
Το ανωτέρω σχήμα δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Κωχ.'Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.
Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.
Εφαρμογές fractals
Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες τής αυτοομοιότητας και τής μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά.
Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθοίιν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων.
Η γεωμετρία του Χάους είναι η γεωμετρία των fractals
Αλλά γιατί τα fractals συνδέθηκαν τόσο πολύ με τα χαοτικά συστήματα; Ξέρουμε από την ευκλείδια γεωμετρία ότι οι γραμμές έχουν μία διάσταση, οι επιφάνειες δύο και οι όγκοι τρείς διαστάσεις. Αντιθέτως τα fractals δεν έχουν ακέραιες διαστάσεις, αλλά μπορεί να είναι μη ακέραια πχ ανάμεσα στο 2 και στο 3 αν είναι καμπύλη.
Οσο πιό μεγάλη είναι η διάσταση τους τόσο πιό τραχιά είναι η εμφάνιση του. Μια τυπική βραχώδης ακρογιαλιά, αν τη δούμε σαν fractal γραμμή τότε έχει διάσταση 1.215. Ολα δε τα αντικείμενα που ένα μικρό τμήμα τους μοιάζει με ένα μεγαλύτερο θεωρείται fractal.
'Eνα τυπικό παράδειγμα fractal είναι το σύνολο τού Mandelbrot.
Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)
Τα σύνολα Julia (Από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού Gaston Julia που τ' ανακάλυψε) δημιουργήθηκαν εισάγοντας ένα μιγαδικό αριθμό σε μια επαναληπτική συνάρτηση. Οι εικόνες που φαίνονται αναπαριστούν πως η επαναληπτική συνάρτηση συμπεριφέρεται.
Το σύνολο Mandelbrot είναι ένας κατάλογος όλων των δυνατών συνόλων Julia. To σύνολο Mandelbrot είναι τα πιό φημισμένα fractal επειδή είναι εξαιρετικά σύνθετο και ήταν το πρώτο που ανακαλύφθηκε από τον ιδρυτή της fractal γεωμετρίας: τον Benoit Mandelbrot.
Το σύνολο Manelbrot είναι από τα πιό σύνθετα σχήματα της Γεωμετρίας. Ο τύπος για να τα σχεδιάσουμε στον υπολογιστή είναι Ζn+1=Z2n+K. Η συνταγή λοιπόν είναι η εξής: Παίρνουμε ένα αριθμό, τον πολλαπλασιάζουμε στον εαυτό του και τον προσθέτουμε στον σταθερό Κ. Εξετάζουμε αν η σειρά από τα σημεία που προκύπτουν βγαίνει έξω από ένα κύκλο με ακτίνα ίση με δύο. Αν δεν βγαίνει, τότε το πρώτο σημείο, εκεί όπου ξεκίνησε, ανήκει στο σύνολο Mandelbrot και θα παριστάνεται σαν μια μαύρη κουκίδα. Ετσι βρίσκοντας πολλά σημεία αρχίζει να ξεκαθαρίζει το σχήμα που φτιάξαμε. Και έχει την παράξενη ιδιότητα ένα τμήμα του να μοιάζει με ολόκληρο το fractal. Φτάνει να παραστήσουμε κάποιο κομμάτι και θα καταλάβουμε πως είναι το ολόκληρο. Αλλά ποιό είναι το ολόκληρο; Αυτό που χωράει σε ένα χαρτί, σε ένα τεράστιο χαρτόν ή που χωράει σε όλη την Αθήνα;
Παράδειγμα
Το σύνολο του Mandelbrot είναι ένα συνδεδεμένο σύνολο από σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αν θεωρήσουμε κάποιο σημείο Z0 στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε το σημείο Z1δημιουργείαι από το Z0 ως εξής:
Z1 = Z02 + Z0
Z2 = Z12 + Z0
Z3 = Z22 + Z0. . .
Αν η ακολουθία Z0, Z1, Z2, Z3, ... παραμένει εντός του κύκλου με ακτίνα 2 πάντα, τότε το σημείο Z0 λέγεται πως ανήκει στο σύνολο Mandelbrot. Εαν η ακολουθία αποκλίνει από το αρχικό σημείο, τότε το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο.
Δημιουργία Fractal
Εστω ότι θέλουμε να φτιάξουμε κάποιο fractal, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Y=X2. Για να φτιάξουμε το σύνολο αυτό, κάθε φορά στη θέση του X βάζουμε το Y που βρήκαμε.
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αρχική τιμή για το X=1.01 τότε θα έχουμε
1.012=1.0201. Παίρνουμε τη νέα τιμή του Y=1.0201 και την βάζουμε στο X, οπότε θα έχουμε
1.02012=1.0201. Και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
1.082856705628081.1725786449237
1.374906785311
1.89046186
3.57384607
12.7723758
163.1335836
26612.5661173
708228675.3479
5.015878*1017
2.5159*1035 κ.ο.κ.
Τι θα γίνει όμως αν αντί για 1.01 βάλουμε 0.99 στη θέση του X; Θα πάρουμε τους εξής αριθμούς:
0.992=0.9801
0.98012=0.96059601 και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
0.922744
0.8514577710
0.724980
0.52559648
0.2762516676
7.631498390659*10-2
5.8239767*10-3
3.39187054019*10-5
1.150478*10-9
1.3236009*10-18
1.751919*10-36
3.06922188*10-72
9.420122*10-144
Είναι λοιπόν ξεκάθαρο προς τα που οδηγεί η μικρή αλλαγή του Χ από 1.01 σε 0.99, στο Χάος, στο απρόβλεπτο.
Νευρωνικά δίκτυα και χάος
Ενα ντετερμινιστικό σύστημα είναι - θεωρητικά - απόλυτα προβλέψιμο. Το μέλλον του καθορίζεται από το παρελθόν του. Στην πράξη, παρά το ότι ακολουθεί αυστηρούς και απλούς κανόνες, η συμπεριφορά του είναι τόσο πολύπλοκη που δεν επιτρέπει την πρόγνωση μακριά στο μέλλον. Είναι εντυπωσιακό, που τα νευρονικά δίκτυα μπορούν να προβλέψουν τη μελλοντική συμπεριφορά χαοτικών συστημάτων, με βάση μόνο μερικά παραδείγματα του "παρελθόντος" τους.Τα νευρονικά δίκτυα - ομάδες απλών μονάδων επεξεργασίας σε στρώματα πυκνά διασυνδεδεμένα μεταξύ τους - δεν προγραμματίζονται, διδάσκονται δια παραδειγμάτων.
Αν τα παραδείγματα είναι πάνω στη συμπεριφορά που προκαλεί το παρελθόν στο μέλλον , το δίκτυο αναπτύοσει ικανότητες πρόγνωσης.
Δεν έχει γίνει πλήρως αντιληπτό το πώς γίνεται αυτό, αλλά θεωρείται σαν μια μορφή αναγνώριοης επαναλαμβανομένων οταθερών "σχημάτων" (pattern recognition). Το δίκτυο βρίσκει σχήματα που τα αναγνωρίζει ότι οδηγούν σε ορισμένο μέλλον - κάτι σαν τις μαθηματικές καμπύλες που "ταιριάζουν" σε διάσπαρτα πειραματικά αποτελέσματα, αλλά σε πολυδιάστατους χώρους.
Οι επιστήμονες του Κέντρου Μη-Γραμμικών Επιστημών του Los Αlamοs, χρησιμοποίησαν μικρά δείγματα χαοτικών δεδομένων για την εκπαίδευση νευρονικών δικτύων στην πρόγνωση της συμπεριφοράς των χαοτικών συστημάτων. Οι συμβατικές αριθμητικές μέθοδοι (με τις καμπύλες πρoσαρμογής που αναφέραμε) απέτυχαν, ενώ τα δίκτυα πέτυχαν καλά αποτελέσματα, που έδειχναν ότι "κατάλαβαν" τη δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων .
Αλλοι επιστήμονες χρησιμοποίησαν τις μαθημιατικές τεχνικές της θεωρίας του χάους για τη μελέτη του ανθριόπινου εγκεφάλου. Βρήκαν μάλιστα ενδείξεις ύπαρξης ορισμένων τύπων χάους στα ηλεκτροεγκεφαλογραφήματα ενός επιληπτικού και υγιών ανθρώπων σε κατάσταση ύπνου. Μερικό. πειράματα σε κουνέλια δείχνουν κάποιο ρόλο του χάους στη λειτουργία της μνήμης. Το χάος και τα νευρονικά δίκτυα φαίνεται λοιπόν ότι συνδέονται με κάποια σχέση!
Χάος και Θεωρία καταστροφής
Μαθηματική θεωρία, η οποία αποδίδει τις απότομες και αναπάντεχες μεταβολές της συμπεριφοράς ενός συστήματος σε ενδογενείς παράγοντες.
Κατά την θεωρία, οι εξωγενείς παράγοντες (πόλεμοι, φυσικές καταστροφές, πολιτικές αποφάσεις κ.λπ.), εφόσον συντρέξουν, μπορεί να επιτείνουν μια δημιουργηθείσα ενδογενώς ανισορροπία. Για να δημιουργηθεί ενδογενώς ανισορροπία, θα πρέπει το σχετικό σύστημα να περιγράφεται από ένα σύνολο μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων (διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών).
Η αιτία είναι το γεγονός της μη γραμμικότητας, η οποία επιτρέπει την, σε σύντομο χρονικό διάστημα, μεγάλη διεύρυνση κάποιων αρχικών αποκλίσεων μεταξύ τών θεωρητικών και πραγματικών τιμών μιάς μεταβλητής.
Η ανάπτυξη τής θεωρίας ξεκίνησε στα μέσα τής δεκαετίας τού 1950 όταν ο Αμερικανός μαθηματικός Benoit Mandelbrot ανέπτυξε την Κλασματική Γεωμετρία (Fractal Geometry) με την εισαγωγή τών κλασματικών διαστάσεων.
Στις αρχές τής δεκαετίας τού 1970 ο Γάλλος μαθηματικός Rene Τhοm παρουσίασε την Θεωρία τών Καταστροφών αξιοποιώντας τις προόδους στην Διαφορική Τοπολογία.
Η δεκαετία τού 1970 ήταν η περίοδος κατά την οποία οι θεωρητικές πρόοδοι που έδιδαν ποιοτικά συμπεράσματα, χρησιμοποιήθηκαν και για την εξαγωγή ποσοτικών εκτιμήσεων. Σ' αυτήν την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Άγγλος μαθηματικός Chrίstορher Zeeman, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο τού Γουόρικ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησε τις ιδιότητες των μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων, η συμπεριφορά των οποίων μελετάται, κυρίως, μέσω τού θεωρήματος τού Ροίncare και τής εξίσωσης του Lyapunov.
Η Θεωρία τού Χάους και τής Καταστροφής είναι μια Θεωρία Γενικής 1σορροπίας στην οποία γενικεύεται η έννοια τής ισορροπίας. Εδώ, ισορροπία δεν είναι η τάση επιστροφής τού συστήματος σε ένα απλό σημείο, αλλά σε ένα άλλο σύνολο σημείων , σύνολο το οποίο καλείται ελκυστής (attractor). Εάν το εν λόγω σύνολο καταλαμβάνει ολόκληρη επιφάνεια χωρίς συγκεκριμένη διάταξη, τότε λέγεται παράξενος ελκυστής (strange attractor).
Η ύπαρξη αυτού τού παράξενου ελκυστή προκαλεί το απρόβλεπτο τής συμπεριφοράς τού συστήματος. Σε μια τέτοια περίπτωση, μεγάλη βοήθεια στην μελέτη τής συμπεριφοράς τού συστήματος προσφέρει η Θεωρία τών Διχαλοδρομήσεων (Bifurcation Τheοry), σύμφωνα με την οποία όταν η αριθμητική τιμή μιάς παραμέτρου (καλουμένη «αργή μεταβλητή») υπερβεί ένα όριο, τότε εμφανίζονται πολλαπλές λύσεις με τάσεις συνεχούς διακλάδωσης τών λαμβανόμενων αριθμητικών αποτελεσμάτων.
Εάν το σύνολο τών σημείων ισορροπίας συρρικνωθεί σε ένα μόνο σημείο, τότε έχουμε την κλασική έννοια τού σημείου ισορροπίας (point attractor). Εκτός τών ελκυστών, υπάρχουν και σύνολα σημείων τα οποία εξωθούν το σύστημα σε ανισορροπία. Τα σημεία αυτά λέγονται «απωθητές» (repellors).
Η πρώτη εφαρμογή της Θεωρίας του Χάους και της Καταστροφής έγινε στην Μετεωρολογία από τον Αμερικανό μετεωρολόγο Ε. Lorenz περί τα μέσα τής δεκαετίας τού 1960. Στην επόμενη δεκαετία άρχισε να εφαρμόζεται και σε άλλες επιστήμες, όπως την ιατρική (καρδιακή αρρυθμία), την βιολογία (επιβίωση ειδών), την ψυχολογία (ανταρσίες φυλακισμένων), την μηχανική (στατική ισορροπία γέφυρας) κ.λπ.
Οι πρώτες εφαρμογές τής εν λόγω θεωρίας στα οικονομικά έγιναν περί τα τέλη τής δεκαετίας τού 1970 και κατά τις αρχές τής επομένης. Διάφοροι οικονομολόγοι, όπως ο Η. Varian, ο Μ. Stυtzer, ο Α. Day κ.ά., επανεξέτασαν διάφορα θέματα οικονομικού ενδιαφέροντος υπό το πρίσμα τής νέας προσέγγισης (π.χ. θεωρία τού Μάλθους, θεωρία οικονομικής ανάπτυξης, μικροοικονομική ισορροπία, μακροοικονομική ισορροπία, συμπεριφορά κεφαλαιοαγορών - χρηματιστηρίων, εξέλιξη τής συναλλαγματικής ισοτιμίας τού εθνικού νομίσματος, εξέλιξη τών επιτοκίων κ.λπ.).
Το γενικό συμπέρασμα που μέχρι στιγμής προκύπτει είναι η διαπίστωση ότι σε αρκετές περιπτώσεις τα οικονομικά φαινόμενα έχουν χαοτική συμπεριφορά (δηλαδή λόγω τής μη γραμμικότητάς τους είναι ενδογενώς ασταθή). Αυτό είναι περισσότερο εμφανές στα μικροοικονομικά μεγέθη, σε αντίθεση προς τα μακροοικονομικά, όπου η αναγκαστική ομαδοποίηση (aggregation) πολλές φορές καταστρέφει τον χαοτικό τους χαρακτήρα.
'Ενα άλλο συμπέρασμα είναι ότι η εφαρμογή αντικυκλικής οικονομικής πολιτικής, εφόσον δεν είναι με μεγάλη ακρίβεια ζυγισμένη ως προς την φορά, το μέγεθος και τον χρόνο, δρα μάλλον αποσταθεροποιητικά παρά εξισορροποιητικά. Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι μια τέτοια παρέμβαση μετατρέπει το οικονομικό σύστημα σε διαταραχθέντα ταλαντευτή (forced oscillator) δηλαδή οδηγεί εκτός ελέγχου το εύρος και την συχνότητα τής ταλάντευσης τής οικονομίας.
'Ετσι, η οικονομία είναι ενδεχόμενο, αντί τής σταθεροποίησης, να εμφανίσει πληθωριστικές ή υφεσιακές τάσεις, δεδομένου ότι η αντικυκλική πολιτική που ασκήθηκε έδωσε τέτοιες τιμές στις αργές οικονομικές μεταβλητές (π.χ. οριακή ροπή προς κατανάλωση, οριακή ροπή προς επένδυση κ.λπ.), ώστε να εξαναγκαστεί το σύστημα σε διχαλοδρομήσεις. Ανάλογα με τις επικρατούσες συνθήκες, οι εν λόγω διχαλοδρομήσεις μπορεί να είναι ασθενεις η ισχυρες, παρατεταμενες η συντομες.
Σε ό,τι αφορά, τέλος την μη γραμμικότητα τών μαθηματικών εξισώσεων που εκφράζουν τα οικονομικά φαινόμενα (προσφορά, ζήτηση, τιμές, ανεργία, επενδύσεις, κατανάλωση κ.λπ.) αυτό αποδίδεται στις τριβές και αδράνειες που χαρακτηρίζουν την διαδικασία λήψης τών σχετικών αποφάσεων.
Τα τελευταία χρόνια έχουν αναmυχθεί πολύπλοκες οικονομετρικές τεχνικές, κατάλληλες για τον στατιστικό εντοπισμό και την επεξεργασία τών οικονομικών ποσοτικών δεδομένων που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Εν τούτοις η προβλεπτική ικανότητα τών σχετικών μεθόδων, μέχρι στιγμής, φαίνεται περιορισμένη. Η έρευνα, παρ' όλα αυτά, συνεχίζεται, και στο μέλλον προσδοκάται μεγαλύτερη πρόοδος. '0μως, υπάρχει σκεπτικισμός ως προς το ανακοινώσιμο τών προόδων στον σχετικό τομέα, εάν ληφθούν υπ' όψιν τα τεράστια οικονομικά συμφέροντα (π.χ. πρόβλεψη κινήσεων χρηματιστηρίου) που μπορεί να προκύψουν από αυτές. 'Οπως κάποιος σημείωσε, «αυτός που ξέρει, δεν γράφει».
Animation, εικόνες και προγράμματα για σύνολα Madelbrot-Julia
Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)
Η πρώτη από τα αριστερά εικόνα είναι το σύνολο Mandelbrot που προκύπτει κατά την μελέτη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c , όπου Ζ και c είναι μιγαδικσί αριθμοί.
Κάθε κυανό σημείο του καρδιοειδούς που παριστάνεται στο μιγαδικό επίπεδο αντιστοιχεί σε τιμή τού c, για την οποία προκύπτει ένα συνεκτικό σύνολο Julia (Ζυλιά). Το σύνολο Julia προκύπτει από την επανάληψη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c για όλα τα δυνατά Ζ και περιέχει εκείνα τα Ζ που απεικονίζονται στο άπειρο. Το σύνολο τού Mandelbrot έχει το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό να διατηρεί την εξαιρετικά πσλύπλοκη δομή του, όταν εστιάζσυμε σε ένα τμήμα του και το μεγεθύνουμε σε οποιαδήποτε κλίμακα, όπως φαίνεται στο πρώτο αριστερό σχήμα.
Χάος και Αστρονομία
Ανάμεσα στις τροχιές του Άρη και του Δία, απλώνεται μια ζώνη που είναι γεμάτη από χιλιάδες συντρίμμια βράχων , με μέγεθος από μερικά μέτρα μέχρι μερικές δεκάδες χιλιόμετρα. Αυτοί είναι οι αστεροειδείς.
Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Jack Widsom του MIT έστρεψε την προσοχή του στους μηχανισμούς που καθορίζουν τις θέσεις των αστεροειδών . Οι αστεροειδείς δεν είναι ομαλά διεσπαρμένοι ανάμεσα στον Άρη και στο Δία.
Αντίθετα υπάρχουν διάκενα στην κατανομή τους. Μερικά απ' αυτά τα χάσματα ονομάζονται διάκενα Κέρκγουντ. Ενα αντικείμενο που κινείται σε μια τέτοια περιοχή, υποβάλλεται σε επανειλημμένες βαρυτικές παρέλξεις εξαιτίας του γίγαντα Δία και παρεκκλίνει γρήγορα αφήνοντας ένα διάκενο Κέρκγουντ.
Ο Wisdom ανακάλυψε ότι οι παρέλξεις του Δία δημιουργούν μια χαοτική ζώνη στο διάκενο. Τα σωματίδια που περιπλανώνται μέσα στο διάκενο καταφθάνουν με πολλές διαφορετικές αρχικές καταστάσεις. Εξαιτίας της χαοτικής ζώνης, τα σωματίδια καταλήγουν να κινούνται με ριζικά διαφορετικό τρόπο. 'Εται πολλά απ' αυτά εκσφενδονίζονται προς την κατεύθυνση της Γης ή του Άρη.
Ο Wisdom ανακάλυψε ότι ένας στους πέντε αστεροειδείς που παρεκκλίνουν -δημιουργώντας ένα διάκενο Κέρκγουντ- μπορεί να φτάσει μέχρι την τροχιά της Γης. Το πρόβλημα του αν υπάρχουν αστεροειδείς που ξεφεύγουν από την τροχιά τους και διασχίζουν την τροχιά της Γης, είναι κάτι πολύ περισσότερο από ένα ακαδημαίκό ερώτημα: η σύγκρουση ακόμα κι ενός μικρού αστεροειδoύς με τη Γη μπορεί να επιφέρει ασύλληπτες καταστροφές.
Οι περισσότεροι αστεροειδείς βρίσκονται σε τροχιές ανάμεσα στον Αρη και Δία, και ο θεωρητικός υπολογισμός των τροχιών τους με τη βοήθεια των computers δείχνει πως οι τροχιές αυτών των αντικειμένων είναι εμφανώς χαοτικές, τόσο ώστε για μερικούς να είναι αδύνατη η μελέτη των τροχιών τους, άρα και η πρόβλεψη από που θα περάσουν, για χρονικό διάστημα μεγαλύτερο των 100 χρόνων.
Το 1909 ένα ουράνιο σώμα διαμέτρου 50m έπεσε κοντά στον ποταμό Τογκούσκα της Σιβηρίας, προκαλώντας τεράστιες καταστροφές στα δάση της περιοχής. Στις 22 Μαρτίου 1989, ο αστεροειδής 1989FC πέρασε σε απόσταση "μόνο" 680.000 χλμ. από τη Γη, δηλαδή "ξυστά", αν λάβουμε υπ' όψη μας τις τεράστιες αποστάσεις μεταξύ των πλανητών. Σε πτώση ενός αστεροειδούς οφείλεται και η δημιουργία ενός κρατήρα πριν από 200 εκατομμύρια χρόνια, στο Κεμπέκ του Καναδά, που σήμερα αποτελεί τη λίμνη Manicouagan.
Αλλά οι περισσότερες και μεγαλύτερες καταστροφές ήρθαν στην σφοδρότερη σύγκρουση που έγινε ποτέ. Πριν από 65 εκατομμύρια χρόνια ένας αστεροειδής με διάμετρο περίπου 10 km, έπεσε στις ακτές του Μεξικού, και η καταστροφή που προκάλεσε ήταν παγκόσμια. Μάλιστα πιστεύεται πως την εποχή αυτή εξαφανίστηκαν οι δεινόσαυροι, που κυριαρχούσαν πάνω στον πλανήτη μας για εκατοντάδες εκατομμύρια χρόνια.
Στο διάκενο Κέρκγουντ που βρίσκεται σε απόσταση 2,5 αστρονομικών μονάδων από τον 'Ηλιο, υπάρχουν δυο αστεροειδείς -η Αλίντα κι ο Κουετζαλκοάτλ- που βρίσκονται σε συντονισμό με το Δία. Ο αστεροειδής 1989AC που το 2004 θα περάσει σε απόσταση ενάμισι εκατομμυρίου χιλιομέτρων από τη Γη βρίσκεται κι αυτός μάλλον σε συντονισμό με το Δία.
Το Σεπτέμβριο του 2000, δύο καναδοί επιστήμονες ανακάλυψαν ένα αστεροειδή που του έδωσαν το κωδικό όνομα 2000 SG344, και ο οποίος πλησιάζει τον πλανήτη μας κάθε 30 χρόνια περίπου. Μετά από τις πρώτες προβλέψεις, πως ο αστεροειδής αυτός θα μας πλησίαζε το 2030, νεώτερες και πιό ακριβείς προβλέψεις λένε πως θα επισκεφθεί την γειτονιά μας, το 2071.
Τα τελευταία 10 χρόνια, οι προσπάθειες συγκλίνουν στο να ανακαλύψουμε πρώτον ποιοί μεγάλοι αστεροειδείς έχουν πιθανότητα να περάσουν κοντά στη Γη και δεύτερον πως μπορούμε να αποτρέψουμε μια ενδεχόμενη σύγκρουση. Ανακαλύφθησαν περίπου 250 αστεροειδείς, αλλά ευτυχώς κανένας δεν περνάει τόσο κοντά που να μας κάνει να τρομοκρατηθούμε. Αλλά κανείς δεν ξέρει λόγω της χαοτικής τροχιάς των αστεροειδών αν στο μέλλον δεν εμφανιστεί κάποιος που θα απειλήσει τη ζωή πάνω στη Γη.
<><>
Από το physics4u
Ένας οδηγός του Χάους γιά αρχάριους
Εισαγωγή
Στον αιώνα που μας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι μεγάλες επιστημονικές επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική και η θεωρία του Χάους. Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την αρχή της αιτιότητας και η τρίτη διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, πως από παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά συμπεράσματα.
Η λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Αλλη η έννοια του χάους στην θρησκεία ή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία ή στην σημερινή εποχή μας (χάος=διάλυση, σύγχυση, μπάχαλο, αταξία κλπ) ή ακόμη και στην αναπαράσταση του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot και άλλη η έννοια του χάους στην επιστήμη.
Στην επιστήμη το χάος ορίζεται σαν την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της κίνησης από τις αρχικές συνθήκες. Η απρόσμενη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες είναι το στοιχείο του χάους - της αταξίας- που εκδηλώνεται σε μια τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Δηλαδή αναλυτικώτερα, χάος είναι η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ' ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος.
Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθήσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.
Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθήσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.
Ετσι όμως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία
Τα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, είναι πολλά. Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες και απρόβλεπτες δίνες. Η ροή του νερού που στάζει από μια βρύση. Το νερό των κυμάτων που σκάζουν πάνω σε μια ακτή.
Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς.
Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς.
Αλλά τα παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην ροή του νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους συνυπάρχει το χάος.
Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας. Οι μαθηματικοί, φυσικοί, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί αναζητούσαν συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας. Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από την χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων οι μαθηματικοί του χάους ζητήσανε να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της καθημερινής ζωής. Τις αλλαγές του καιρού. Τις διακυμάνσεις στους πληθυσμούς των αγρίων ζώων. Την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο. Αναπαριστούν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενεα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε computer. Κι ανακαλύπτουν την κρυφή τάξη που τα ορίζει.
Ετσι οι φυσιολόγοι βρήκαν μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Οι οικολόγοι ερεύνησαν την εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Οι οικονομολόγοι εξέταζαν τις τιμές κάποιων προϊόντων. Οι μετεωρολόγοι εξέταζαν το σχήμα των νεφών, τις διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Και οι αστροφυσικοί πως ομαδοποιούνται τα άστρα σε γαλαξίες.
Στην αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο Ηλιακό σύστημα, --παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα-- προκαλεί ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στο σχηματισμό του Ηλιακού συστήματος. Ετσι γρήγορα οι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος στην εφαρμοσμένη επιστήμη από την θεωρητική που μέχρι τότε έκαναν.
Μπορεί όμως το χάος να χαρακτηρίζει τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τα κοινωνικά, τα πολιτικά και τα βιολογικά δυναμικά συστήματα, αλλά από φιλοσοφικής πλευράς ζούμε σε μια όαση τάξης μέσα σ' ένα ωκεανό χάους: Από τη μια το χάος της απροσδιοριστίας στο μικρόκοσμο και από την άλλη η χαοτική δυναμική του μακρόκοσμου, με τους πλανήτες να κινούνται σε απρόβλεπτες τροχιές.
Αίφνης η κίνηση των κυμάτων που σκάνε σε μια ακτή. Η κίνηση αυτή δημιουργεί ένα άγριο κουβάρι από τροχιές και περιδινήσεις, που περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να 'χουν μια μορφή, μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν παράξενος ελκυστής (strange attractοr).
'Ενα άλλο παράδειγμα είναι το παιχνίδι φλιπεράκι, όπου οι κινήσεις τής μπάλας προσδιορίζονται ακριβώς από τους νόμους τής κύλισης υπό την επίδραση τής βαρύτητας και τής ελαστικής κρούσης -και οι δύο πλήρως κατανοητοί-, αλλά το τελικό αποτέλεσμα είναι μη προβλέψιμο.
Το χάος σαν ιστορία
Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου αιώνα (μην ξεχνάμε βρισκόμαστε στον 21ο αιώνα) η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού δεν υπήρχαν computer για περισσότερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς.
Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare (1854 - 1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνιας μηχανικής, και να αποτελέσει έτσι τη γέννηση ενός νέου κλάδου της επιστήμης: του Χάους.
| |
Συγκεκριμμένα ο Poincare διαπίστωσε πως το πρόβλημα των τριών σωμάτων (μελέτησε το πρόβλημα του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης) ήταν και παραμένει άλυτο. Αρα, δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού δέχεται την επίδραση του Ηλιου και άλλων οκτώ πλανητών.
|
Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα και μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι' αυτό και διατύπωσε την άποψη "Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα".
Η γέννηση του χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια απο τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης. Το 1954 πρώτος την κατανόησε ο σοβιετικός επιστήμονας A.Kolmogorov και ακολούθησαν και άλλοι.
Η γέννηση του χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια απο τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης. Το 1954 πρώτος την κατανόησε ο σοβιετικός επιστήμονας A.Kolmogorov και ακολούθησαν και άλλοι.
Ο πρώτος όμως που διέκρινε πως η επανάληψη (iteration) γεννά το χάος, ανήκει στον Αμερικανό μετεωρολόγο Edward Lorenz που εργαζόταν στο MIT. Στα μέσα του χειμώνα 1961, εργαζόταν στον υπολογιστή του ΜΙΤ για να λύσει μερικές μη γραμμικές εξισώσεις που περιέγραφαν το μοντέλο της γήινης ατμόσφαιρας.
Κάποια ημέρα για να ελέγξει μια πρόγνωση που είχε πάρει από τον υπολογιστή, ξαναέδωσε τα δεδομένα του για τη θερμοκρασία, την ατμοσφαιρική πίεση και τη διεύθυνση του ανέμου αλλά αυτή τη φορά με στογγυλοποιημένους αριθμούς. Και περίμενε να του βγάλει ο υπολογιστής την ίδια πρόγνωση. Το αποτέλεσμα όμως τον σόκαρε. Τα νέα αποτελέσματα ήταν τελείως διαφορετικά. Αμέσως κατάλαβε πως η μεγένθυση των διαφορών οφείλεται στο συνδυασμό μη γραμμικότητας και επανάληψης. Για την ιστορία, αναφέρουμε πως αντί να βάλει τον αριθμό 0.506127 με έξι δεκαδικά ψηφία, έβαλε 0.506. Με μία έννοια ήτα απόλυτα λογική σκέψη.
Κάποια ημέρα για να ελέγξει μια πρόγνωση που είχε πάρει από τον υπολογιστή, ξαναέδωσε τα δεδομένα του για τη θερμοκρασία, την ατμοσφαιρική πίεση και τη διεύθυνση του ανέμου αλλά αυτή τη φορά με στογγυλοποιημένους αριθμούς. Και περίμενε να του βγάλει ο υπολογιστής την ίδια πρόγνωση. Το αποτέλεσμα όμως τον σόκαρε. Τα νέα αποτελέσματα ήταν τελείως διαφορετικά. Αμέσως κατάλαβε πως η μεγένθυση των διαφορών οφείλεται στο συνδυασμό μη γραμμικότητας και επανάληψης. Για την ιστορία, αναφέρουμε πως αντί να βάλει τον αριθμό 0.506127 με έξι δεκαδικά ψηφία, έβαλε 0.506. Με μία έννοια ήτα απόλυτα λογική σκέψη.
Στην εικόνα φαίνεται μια εκτύπωση που πήρε ο Lorenz το 1961. Από το ίδιο σημείο εκκίνησης ο Lorenz είδε τον καιρό που έδινε ο υπολογιστής της IBM να δημιουργεί σχήματα που εξελλίσονταν όλο και πιό διαφορετικά μέχρι που κάθε ομοιότητα εξαφανίστηκε.
|
Στον ίδιο, τον Lorenz οφείλεται και η θεωρία για την πεταλούδα που πετάει στο Χονγκ-Κονγκ και μπορεί να δημιουργήσει καταιγίδα στη Νέα Υόρκη. Ξαφνικά οι επιστήμονες συνειδητοποίησαν πως σε αιτιοκρατικά δυναμικά συστήματα, η δυνατότητα γέννησης χάους (μη προβλεψιμότητας) παραμονεύει σε κάθε λεπτομέρεια.
Η ονομασία όμως Θεωρία του Χάους οφείλεται στον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Maryland Jim York μόλις το 1975. Μια θεωρία που συνεχώς εξελίσσεται κυριεύοντας όλους τους τομείς της επιστημονικής έρευνας: από την διαστημική έως τη δυναμική των υγρών, τις ακτίνες laser έως τις χημικές αντιδράσεις, από τις τηλεπικοινωνίες (λευκός θόρυβος της γραμμής) έως την καρδιολογία, από την οικονομία έως την νευροφυσιολογία. Αλλά ενδιαφέρει τελευταία και τους μουσικούς, τους συγγραφείς, τους ψυχαναλυτές και άλλους πολλούς.
Ελκυστές-υπολογισμός του χάους
Μελέτη του Χάους
Η μελέτη του χάους προϋποθέτει τη χρήση της 'γλώσσας' των μαθηματικών.
Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς που είναι το κλασικό παράδειγμα στο μάθημα της φυσικής. Μετά από μια ώθηση, κινείται μπρος-πίσω μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος - σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, αυτό θα έλκεται από αυτό το σημείο. Δεν διαθέτουν όλα τα συστήματα ένα τέτοιο σημείο, Μερικά έχουν τόσο πολύπλοκη δόμηση και συμπεριφορά, ώστε να καταλήγουμε να μιλάμε για "χώρους" έλξης.
Εδώ πρέπει να ξαναμιλήσουμε για διαστάσεις. Οι διάφορες παράμετροι της συμπεριφοράς του εκκρεμούς μπορούν να οριστούν σαν άλλες διαστάσεις. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις, οι τρεις του χώρου (x,y,z) και ο χρόνος. Αν το ίδιο το εκκρεμές είναι μια ανεστραμμένη αλατιέρα, τότε το βάρος του θα αλλάζει καθώς θα χύνεται το αλάτι. Το βάρος γίνεται η πέμπτη διάσταση. Τώρα πρέπει να κάνετε μια κίνηση εμπιστοσύνης προς τα μαθηματικά. Να θεωρήσετε τον πενταδιάστατο αυτό χώρο σαν σύστημα αναφοράς, οπότε η συμπεριφορά ενός συστήματος θα περιγράφεται σαν μια τροχιά που διαγράφεται σε αυτόν τον ιδεατό χώρο.
Ενα από τα βασικά χαρακτηριστικά του χάους είναι τα παράξενα .'σημεία έλξης" που διαθέτει. Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα, Αυτό δεν είναι εύκολο - σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους.
Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς που είναι το κλασικό παράδειγμα στο μάθημα της φυσικής. Μετά από μια ώθηση, κινείται μπρος-πίσω μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος - σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, αυτό θα έλκεται από αυτό το σημείο. Δεν διαθέτουν όλα τα συστήματα ένα τέτοιο σημείο, Μερικά έχουν τόσο πολύπλοκη δόμηση και συμπεριφορά, ώστε να καταλήγουμε να μιλάμε για "χώρους" έλξης.
Εδώ πρέπει να ξαναμιλήσουμε για διαστάσεις. Οι διάφορες παράμετροι της συμπεριφοράς του εκκρεμούς μπορούν να οριστούν σαν άλλες διαστάσεις. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις, οι τρεις του χώρου (x,y,z) και ο χρόνος. Αν το ίδιο το εκκρεμές είναι μια ανεστραμμένη αλατιέρα, τότε το βάρος του θα αλλάζει καθώς θα χύνεται το αλάτι. Το βάρος γίνεται η πέμπτη διάσταση. Τώρα πρέπει να κάνετε μια κίνηση εμπιστοσύνης προς τα μαθηματικά. Να θεωρήσετε τον πενταδιάστατο αυτό χώρο σαν σύστημα αναφοράς, οπότε η συμπεριφορά ενός συστήματος θα περιγράφεται σαν μια τροχιά που διαγράφεται σε αυτόν τον ιδεατό χώρο.
Ενα από τα βασικά χαρακτηριστικά του χάους είναι τα παράξενα .'σημεία έλξης" που διαθέτει. Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα, Αυτό δεν είναι εύκολο - σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους.
Ελκυστές
Στην κλασική μηχανική, η συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος μπορει να περιγραφει γεωμετρικα ως κίνηση προς έναν ελκυστή. Οι ελκυστές θεωρούνται ότι είναι σημεία, καμπύλες, στερεά που ακριβώς έλκουν ένα συγκεκριμμένο φαινόμενο. Σε ένα ταλαντούμενο σώμα ο ελκυστής είναι το κατώτατο σημείο που σταματάει. Ο ελκυστής του αριθμού των ψαριών μιας μολυσμένης θάλασσας μπορεί να είναι το μηδέν, η έλλειψη της ζωής. Στα μαθηματικά της κλασικής μηχανικής ήταν γνωστοί τρεις τύποι ελκυστών: μεμονωμένα σημεία (που χαρακτηρίζουν σταθερές καταστάσεις) , κλειστοί βρόχοι (περιοδικές κινήσεις σε «κύκλους») και δακτύλιοι ( συνδυασμοί διαφόρων «κύκλων» ).
Ο Ελκυστής του Lorenz. Αυτή η εικόνα έγινε το σύμβολο του Χάους στα πρώτα χρόνια. Αποκαλύπτει τη μικροσκοπική δομή που ήταν κρυμμένη μέσα σε μια άτακτη ροή δεδομένων. Είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς μεταβλητές. Κάθε στιγμή, οι τρείς μεταβλητές προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στον τρισδιάστατο χώρο. Καθώς το σύστημα μεταβάλλεται, η κίνηση του σημείου θα παριστάνει τις συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές. Επειδή το σύστημα δεν επαναλαμβάνεται από μόνο του, η τροχιά δεν τέμνει τον εαυτό της ποτέ, αλλά δημιουργεί βρόχους επ'αόριστον. Η απεικόνιση αυτή εμφανίζει ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας. Η μορφή αυτή μοιάζει σαν δύο φτερά μιας πεταλούδας ή σαν ένα είδος διπλής έλικας. Το σχήμα φανερώνει μια καθαρή αταξία, αλλά και ένα νέο είδος τάξης.Κατά την δεκαετία τού 1960 ανακαλύφθηκε από τον Αμερικανό μαθηματικό Stephen Smale μια νέα τάξη παράξενων ελκυστών προς τους οποίους η δυναμική είναι χαοτική .Αργότερα διαπιστώθηκε ότι οι παράξενοι ελκυστές έχουν λεπτομερή δομή σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Αμεσο αποτέλεσμα αυτής τής διαπίστωσης ήταν η ανάπτυξη τής έννοιας του fractal (μίας τάξης πολύπλοκων γεωμετρικών σχημάτων που όλα παρουσιάζουν την ιδιότητα τής αυτοομοιότητας), που με την σειρά του οδήγησε σε αξιοσημείωτες εξελίξεις στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή.Υπολογισμός του Χάους
Αλλά αν έχετε ακόμη πρόβλημα με το τι είναι το Χάος, σας λέμε πως το Χάος δεν σχετίζεται με περίπλοκα συστήματα και αφηρημένες έννοιες --μπορείτε να τα δείτε με αριθμούς. Προσπαθήστε να υπολογίσετε την επαναληπτική συνάρτηση: 2x2 - 1, με μια αρχική τιμή για το x μεταξύ του 0 και του 1.
Αν δεν είστε εξοικιωμένοι με την ιδέα των επαναληπτικών συναρτήσεων, σας λέμε πως αυτό σημαίνει πως λαμβάνεται την τιμή της συνάρτησης που πήρατε για κάποια τιμή του x και την τιμή αυτή την τοποθετείται στη θέση του x για να ξεκινήσετε εκ νέου την ίδια διαδικασία, υπολογισμός της συνάρτησης κλπ.Μπορείτε να το κάνετε με ένα υπολογιστήρι ή με ένα πρόγραμμα στο computer ή να χρησιμοποιήσετε ακόμη και ένα spreadsheet (φύλλο λογιστικής).
Για να γίνει επιλέγει η αρχική τιμή x=0.75. Το ενδιαφέρον όμως στην περίπτωση μας είναι πως αν διαλέξετε μια τιμή πολύ κοντά στην αρχική τιμή πχ 0.74999, και κάνετε το γράφημα, εσείς θα διαπιστώσετε πως είναι μεν αρχικά όμοιο με το πρώτο αλλά μετά γίνεται τελείως διαφορετικό. Αυτό εν ολίγοις, μας λέει πως οι αρχικές συνθήκες σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούν να αλλάξουν ριζικά προς τα που θα πάει το σύστημα μας. Θυμείτε την πεταλούδα, που το πέταγμα της φέρνει θύελλες στην άλλη άκρη της Γης.
Αν δεν είστε εξοικιωμένοι με την ιδέα των επαναληπτικών συναρτήσεων, σας λέμε πως αυτό σημαίνει πως λαμβάνεται την τιμή της συνάρτησης που πήρατε για κάποια τιμή του x και την τιμή αυτή την τοποθετείται στη θέση του x για να ξεκινήσετε εκ νέου την ίδια διαδικασία, υπολογισμός της συνάρτησης κλπ.Μπορείτε να το κάνετε με ένα υπολογιστήρι ή με ένα πρόγραμμα στο computer ή να χρησιμοποιήσετε ακόμη και ένα spreadsheet (φύλλο λογιστικής).
Για να γίνει επιλέγει η αρχική τιμή x=0.75. Το ενδιαφέρον όμως στην περίπτωση μας είναι πως αν διαλέξετε μια τιμή πολύ κοντά στην αρχική τιμή πχ 0.74999, και κάνετε το γράφημα, εσείς θα διαπιστώσετε πως είναι μεν αρχικά όμοιο με το πρώτο αλλά μετά γίνεται τελείως διαφορετικό. Αυτό εν ολίγοις, μας λέει πως οι αρχικές συνθήκες σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούν να αλλάξουν ριζικά προς τα που θα πάει το σύστημα μας. Θυμείτε την πεταλούδα, που το πέταγμα της φέρνει θύελλες στην άλλη άκρη της Γης.
Θεωρητικοί του Χάους
EDWΑRD LORENZ. Ολα άρχισαν από τον Αμερικανό μετεωρολόγο Edward Lorenz, ο οποίος δημοσίευσε σε ένα ασήμαντο μετεωρολογικό περιοδικό του 1963 μια μελέτη. Αναρωτιόταν γιατί δεν μπορούμε να προβλέψουμε τον καιρό πάνω από 5 μέρες και χρησιμοποιούσε τρεις μη-γραμμικές εξισώσεις για να ερμηνεύσει τις καιρικές αλλαγές.
Αυτές τις εξισώσεις, με τη βοήθεια ενός στοιχειώδους γραφιστικού αναπαραγωγέα, τις έβαλε σε ένα πρωτόγονο κομπιούτερ της εποχής και δημιούργησε μια αναπαράσταση στην οθόνη. Η ιστορία μας λέει πως έπαθε σοκ. Η αναπαράσταση έμοιαζε μάλλον με συμμετρική καρναβαλίστικη μάσκα του ντόμινο. Πράγμα που σημαίνει ότι υπήρχε κρυμμένη δομή στο χάος. Μια απώτερη τάξη στην οποία υπάκουαν τα σύννεφα και οι άνεμοι.
Η δομή αυτή, που όπως είπαμε ονομάζεται «παράξενη έλξη» (παράξενη, γιατί είναι ανεξέλεγκτη), προέρχεται από το γεγονός ότι η συμπεριφορα αυτών των συστημάτων (του καιρού, των κυμάτων...) δεν είναι απολύτως τυχαία, αλλά παλινωδεί ανάμεσα σε πολύ συγκεκριμένα όρια. Οτι είναι δηλαδή ένα χάος ελεγχόμενο - μια παράξενη κατάσταση ανάμεσα στο προβλεπόμενο και το τυχαίο.
Αυτές τις εξισώσεις, με τη βοήθεια ενός στοιχειώδους γραφιστικού αναπαραγωγέα, τις έβαλε σε ένα πρωτόγονο κομπιούτερ της εποχής και δημιούργησε μια αναπαράσταση στην οθόνη. Η ιστορία μας λέει πως έπαθε σοκ. Η αναπαράσταση έμοιαζε μάλλον με συμμετρική καρναβαλίστικη μάσκα του ντόμινο. Πράγμα που σημαίνει ότι υπήρχε κρυμμένη δομή στο χάος. Μια απώτερη τάξη στην οποία υπάκουαν τα σύννεφα και οι άνεμοι.
Η δομή αυτή, που όπως είπαμε ονομάζεται «παράξενη έλξη» (παράξενη, γιατί είναι ανεξέλεγκτη), προέρχεται από το γεγονός ότι η συμπεριφορα αυτών των συστημάτων (του καιρού, των κυμάτων...) δεν είναι απολύτως τυχαία, αλλά παλινωδεί ανάμεσα σε πολύ συγκεκριμένα όρια. Οτι είναι δηλαδή ένα χάος ελεγχόμενο - μια παράξενη κατάσταση ανάμεσα στο προβλεπόμενο και το τυχαίο.
ΙLΥΑ PRIGOGINE. Στα ίδια συμπεράσματα οδηγήθηκε κι ένας σπουδαίος χημι κός - μαθηματικός. Ο Ιλιά Πριγκοζίν. Είπε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί βρίσκουν εν τέλει τάξη και νόμο, ζώντας μέσα σε ένα κόσμο που τρεκλίζει - κι ότι αυτή η τάξη βγαίνει από χημικά συστήματα ανισόρροπα και πολύπλοκα - δηλαδή χαοτικά.
Είπε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες δυνάμεις, που οι επιστήμονες ώς τώρα θεωρούσαν αμελητεες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν' αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα.
Είπε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες δυνάμεις, που οι επιστήμονες ώς τώρα θεωρούσαν αμελητεες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν' αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα.
Το ανοιγόκλειμα των φτερών μιας πεταλούδας στην Αθήνα μπορεί λοιπόν να προκαλέσει καταιγίδα στο Τόκιο - αλλά το θέμα δεν είναι αυτό. Είναι ότι με τις νέες θεωρίες, ο άνθρωπος χάνει το μονοπώλιο της δημιουργίας, την ψευδαίσθηση ότι ελέγχει τη φύση μέσω της λογικής, την ανακούφιση ότι ο Θεός δεν παίζει ζάρια με το σύμπαν.
Τώρα όλα είναι χάος - χάνονται και ξαναβρίσκονται καινούρια. Η πορεία του κόσμου δεν είναι μια προβλέψιμη κίνηση, αλλά μια τεθλασμένη γραμμή που διαρκώς λυγίζει από το τυχαίο και δεν μπορεί ποτέ να γυρίσει προς τα ασφαλή μετόπισθεν. Ποτάμι χωρίς επιστροφή.
RENE ΤΗΟΜ. Τα προηγούμενα μας φέρνουν κοντά στη (συγγενική με το χάος) θεωρία των καταστροφών του Rene Thom. Τη θεωρία που ψάχνει μια κρυφή μαθηματική αρχή πίσω από κάθε βιολογική αλλαγή. Με σκοπό, να εξηγήσει τις ξαφνικές αστάθειες σε σχετικά σταθερά συστήματα. Το γιατί π.χ. συμβαίνουν σεισμοί, ή γιατί αλλάζει το σχήμα ενός σύννεφου.
Η λεξη καταστροφή εδώ, δεν είναι κυριολεκτική. Μιλάει για εκείνη την απειροελάχιστη στιγμή όπου όλα παίζονται κι η αλλαγή συντελείται - και την οποία ο Thom αναπαριστά με σπείρες και χελιδονοουρές, σχήματα που δεν υπάρχουν στη φύση και δύσκολα καταλαβαίνονται.
Η θεωρία αυτή ξαναήλθε στην επιφάνεια στη δεκαετία του '60. Ο Thom παρατήρησε κάτι που το βρίσκουμε και στον Ηράκλειτο. Η εξέλιξη του κόσμου γίνεται μέσα από τις αλλαγές της μορφής. Μόνο που η διαδοχή αυτών των μορφών χαρακτηρίζεται από ασυνέχεια. O Rene Thom κατέταξε όλες τις μορφές των απότομων αλλαγών-ασυνεχειών σε επτά κατηγορίες. Οι συνεχιστές της θεωρίας αυτής επεξέτειναν την θεωρία σε ό,τι έβλεπαν να κινείται και να παρουσιάζει ταυτόχρονα απότομες αλλαγές. Πχ γέννηση των βιολογικών μορφών (κύτταρα), μια κοινωνική αλλαγή, μια στάση κρατουμένων, μια πτώση ενός καθεστώτος, την πτώση της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, ακόμη και ψυχολογικές αρρώστειες (πχ εφηβική ανορεξία) που εμφανίζουν καταστροφικές συμπεριφορές με απότομες ψυχολογικές κρίσεις και μεταπτώσεις πχ στην anorexia nervosa οι έφηβοι κινούνται ανάμεσα στην δίαιτα και την βουλιμία. Στην θεωρία αυτή όλα γίνονται αντικείμενο μελέτης με μαθηματικούς τύπους.
ΒΕΝΟΙΤ ΜΑΝDΕLΒRΟΤ . Αλλά εκείνος που θεωρείται ιδρυτής της θεωρίας του χάους είναι ο Γάλλος μαθηματικός της ΙΒΜ Μπενουά Μαντελμπρό. Αυτός εφεύρε πριν 25 χρόνια την κλασική Γεωμετρία (Fractal geometry), η οποία στη θέση των καθαρών και συγκεκριμένων γραμμών της ευκλείδειας, εισάγει μια νέα έννοια της διάστασης που μας επιτρέπει να μετρήσουμε την αταξία, και το ακανόνιστο ενός αντικειμένου.
Είναι μια νέα γεωμετρία, που μπορεί να αναπαραστήσει τις ατέλειωτες αντιθέσεις και στρεβλώσεις των φυσικών μορφών (της πλαγιάς ενός ηφαιστείου, του φύλλου μιας φτέρης, του πνεύμονα ενός εμβρύου...) στην οθόνη ενός κομπιούτερ.Το ιδιοφυές της κλασματικής γεωμετρίας είναι: α) ότι τα σχήματα δημιουργούνται στον κομπιούτερ με την επανάληψη εις άπειρον μιας απλής μαθηματικής πράξης (δες π.χ. τη νιφάδα του Κοχ, στο σχήμα) και β) ότι ο βαθμός αταξίας ενός αντικειμένου παραμένει ο ίδιος σε κάθε κλίμακά του - στα μέρη και το όλου.
Η παιγνιώδης (και πιο γνωστή) εφαρμογή της κλασματικής γεωμετρίας έγινε από τον ίδιο το Mandelbrot πάνω στα κομπιούτερ της ΙΒΜ. Είναι το Mandelbrot Set - μια κλασματική εικόνα στο κομπιούτερ που όσο κι αν την μεγεθύνσεις, τόσο πιο σύνθετα και ψυχεδελικά σύμπαντα θα ανακαλύψεις. Το ίδιο άτακτα όπως η αρχική εικόνα, το ίδιο ανεξάντλητα όπως η θάλασσα.
Είναι μια νέα γεωμετρία, που μπορεί να αναπαραστήσει τις ατέλειωτες αντιθέσεις και στρεβλώσεις των φυσικών μορφών (της πλαγιάς ενός ηφαιστείου, του φύλλου μιας φτέρης, του πνεύμονα ενός εμβρύου...) στην οθόνη ενός κομπιούτερ.Το ιδιοφυές της κλασματικής γεωμετρίας είναι: α) ότι τα σχήματα δημιουργούνται στον κομπιούτερ με την επανάληψη εις άπειρον μιας απλής μαθηματικής πράξης (δες π.χ. τη νιφάδα του Κοχ, στο σχήμα) και β) ότι ο βαθμός αταξίας ενός αντικειμένου παραμένει ο ίδιος σε κάθε κλίμακά του - στα μέρη και το όλου.
Η παιγνιώδης (και πιο γνωστή) εφαρμογή της κλασματικής γεωμετρίας έγινε από τον ίδιο το Mandelbrot πάνω στα κομπιούτερ της ΙΒΜ. Είναι το Mandelbrot Set - μια κλασματική εικόνα στο κομπιούτερ που όσο κι αν την μεγεθύνσεις, τόσο πιο σύνθετα και ψυχεδελικά σύμπαντα θα ανακαλύψεις. Το ίδιο άτακτα όπως η αρχική εικόνα, το ίδιο ανεξάντλητα όπως η θάλασσα.
Αντίθετα, η θεωρία του χάους δεν είναι τόσο απλή - και σίγουρα είναι κάτι παραπάνω από ένας νέος τρόπος για να κωδικοποιείς τη φύση. Στρέφει την επιστήμη σε ένα καινούριο δρόμο, πολύ πιο συμφιλιωμένο με την πραγματικότητα και (φιλοσοφικά τουλάχιστον, γιατί τα μαθηματιιcά της, ελάχιστοι τα κατα λαβαίνουν) συμφιλιώνει και τον άνθρωπο με το μέσα του χάος.
Γιατί και η καρδιά είναι ένα χαοτικό σύστημα. Χτυπάει ανεξέλεγκτα, τυφλά - κι όμως υπακούει κι αυτή σε ένα μαθηματικό νόμο.
Ποιον; Το νόμο του χάους. Τη γνώση της ελεγχόμενης αταξίας : Τη γνώση ότι το μάταιο σκόρπισμα, το διαρκές ξέφτισμα της ζωής δεν είναι εν τέλει τόσο μάταιο, ούτε και τόσο εντροπικό. Ολα λοιπόν υπακούνε σε μια κρυφή, άπιαστη τάξη.
Ποιον; Το νόμο του χάους. Τη γνώση της ελεγχόμενης αταξίας : Τη γνώση ότι το μάταιο σκόρπισμα, το διαρκές ξέφτισμα της ζωής δεν είναι εν τέλει τόσο μάταιο, ούτε και τόσο εντροπικό. Ολα λοιπόν υπακούνε σε μια κρυφή, άπιαστη τάξη.
Fractal και σύνολα Madelbrot-Julia
Fractal
Σχεδόν ο καθένας μας έχει θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια, περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια τα computers αφού είναι σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης.Πολλοί άνθρωποι τα βλέπουν δίχως να γνωρίζουν τι είναι αυτές οι φανταστικές έγχρωμες εικόνες και πως δημιουργούνται. Μερικοί έχουν ακούσει πως υπάρχει κάποια σύνδεση τους με ορισμένα φυσικά αντικείμενα δίχως να πολυκαταλαβαίνουν ποιά σύνδεση εννοείται.
Οι περισσότεροι από μας όταν ακούνε σχέδια ή σχήματα έχουν στο μυαλό τους κάποια ευκλείδια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα fractals διαφέρουν από αυτά σε δύο παράγοντες:
1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς ευατόν. Ετσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγενθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.
1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς ευατόν. Ετσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγενθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.
Τα Fractal είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που έχουντην ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Τα Fractal διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας - το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα κ.λπ.
Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανομοιόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία.Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον πολωνικής καταγωγής μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος τού οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τον αδικοχαμένο Στ.Πνευματικό και τον καθηγητή Ι.Νίκολη.
Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανομοιόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία.Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον πολωνικής καταγωγής μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος τού οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τον αδικοχαμένο Στ.Πνευματικό και τον καθηγητή Ι.Νίκολη.
"Η προς εαυτόν ομοιότητα" και η "χαμηλή περιεκτικότητα πληροφοριών" είναι δύο βασικά χαρακτηριστικά των fractals.
Μολονότι όλα τα Fractals δεν έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας ή δεν την έχουν ακριβώς, τα περισσότερα την επιδεικνύουν.Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη τών ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και, στην περίπτωση καθαρά αφηρημένων οντοτήτων, είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο.
Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, έχει δηλαδή συμμετρία κλίμακας. Αυτό το φαινόμενο μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί, στις νιφάδες τού χιονιού ή στον φλοιό τών δένδρων.
Η νιφάδα του Koch έχει διάσταση fractal μη ακλέραιη. Η τελική εικόνα που προκύπτει έχει άπειρο μήκος αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν μικρότερο από αυτό του περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο.
|
Το ανωτέρω σχήμα δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Κωχ.'Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.
Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.
Εφαρμογές fractals
Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες τής αυτοομοιότητας και τής μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά.
Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθοίιν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων.
Η γεωμετρία του Χάους είναι η γεωμετρία των fractals
Αλλά γιατί τα fractals συνδέθηκαν τόσο πολύ με τα χαοτικά συστήματα; Ξέρουμε από την ευκλείδια γεωμετρία ότι οι γραμμές έχουν μία διάσταση, οι επιφάνειες δύο και οι όγκοι τρείς διαστάσεις. Αντιθέτως τα fractals δεν έχουν ακέραιες διαστάσεις, αλλά μπορεί να είναι μη ακέραια πχ ανάμεσα στο 2 και στο 3 αν είναι καμπύλη.
Οσο πιό μεγάλη είναι η διάσταση τους τόσο πιό τραχιά είναι η εμφάνιση του. Μια τυπική βραχώδης ακρογιαλιά, αν τη δούμε σαν fractal γραμμή τότε έχει διάσταση 1.215. Ολα δε τα αντικείμενα που ένα μικρό τμήμα τους μοιάζει με ένα μεγαλύτερο θεωρείται fractal.
'Eνα τυπικό παράδειγμα fractal είναι το σύνολο τού Mandelbrot.
Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)
Τα σύνολα Julia (Από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού Gaston Julia που τ' ανακάλυψε) δημιουργήθηκαν εισάγοντας ένα μιγαδικό αριθμό σε μια επαναληπτική συνάρτηση. Οι εικόνες που φαίνονται αναπαριστούν πως η επαναληπτική συνάρτηση συμπεριφέρεται.
Το σύνολο Mandelbrot είναι ένας κατάλογος όλων των δυνατών συνόλων Julia. To σύνολο Mandelbrot είναι τα πιό φημισμένα fractal επειδή είναι εξαιρετικά σύνθετο και ήταν το πρώτο που ανακαλύφθηκε από τον ιδρυτή της fractal γεωμετρίας: τον Benoit Mandelbrot.
Το σύνολο Manelbrot είναι από τα πιό σύνθετα σχήματα της Γεωμετρίας. Ο τύπος για να τα σχεδιάσουμε στον υπολογιστή είναι Ζn+1=Z2n+K. Η συνταγή λοιπόν είναι η εξής: Παίρνουμε ένα αριθμό, τον πολλαπλασιάζουμε στον εαυτό του και τον προσθέτουμε στον σταθερό Κ. Εξετάζουμε αν η σειρά από τα σημεία που προκύπτουν βγαίνει έξω από ένα κύκλο με ακτίνα ίση με δύο. Αν δεν βγαίνει, τότε το πρώτο σημείο, εκεί όπου ξεκίνησε, ανήκει στο σύνολο Mandelbrot και θα παριστάνεται σαν μια μαύρη κουκίδα. Ετσι βρίσκοντας πολλά σημεία αρχίζει να ξεκαθαρίζει το σχήμα που φτιάξαμε. Και έχει την παράξενη ιδιότητα ένα τμήμα του να μοιάζει με ολόκληρο το fractal. Φτάνει να παραστήσουμε κάποιο κομμάτι και θα καταλάβουμε πως είναι το ολόκληρο. Αλλά ποιό είναι το ολόκληρο; Αυτό που χωράει σε ένα χαρτί, σε ένα τεράστιο χαρτόν ή που χωράει σε όλη την Αθήνα;
Παράδειγμα
Το σύνολο του Mandelbrot είναι ένα συνδεδεμένο σύνολο από σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αν θεωρήσουμε κάποιο σημείο Z0 στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε το σημείο Z1δημιουργείαι από το Z0 ως εξής:
Z1 = Z02 + Z0
Z2 = Z12 + Z0
Z3 = Z22 + Z0. . .
Αν η ακολουθία Z0, Z1, Z2, Z3, ... παραμένει εντός του κύκλου με ακτίνα 2 πάντα, τότε το σημείο Z0 λέγεται πως ανήκει στο σύνολο Mandelbrot. Εαν η ακολουθία αποκλίνει από το αρχικό σημείο, τότε το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο.
Δημιουργία Fractal
Εστω ότι θέλουμε να φτιάξουμε κάποιο fractal, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Y=X2. Για να φτιάξουμε το σύνολο αυτό, κάθε φορά στη θέση του X βάζουμε το Y που βρήκαμε.
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αρχική τιμή για το X=1.01 τότε θα έχουμε
1.012=1.0201. Παίρνουμε τη νέα τιμή του Y=1.0201 και την βάζουμε στο X, οπότε θα έχουμε
1.02012=1.0201. Και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
1.082856705628081.1725786449237
1.374906785311
1.89046186
3.57384607
12.7723758
163.1335836
26612.5661173
708228675.3479
5.015878*1017
2.5159*1035 κ.ο.κ.
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αρχική τιμή για το X=1.01 τότε θα έχουμε
1.012=1.0201. Παίρνουμε τη νέα τιμή του Y=1.0201 και την βάζουμε στο X, οπότε θα έχουμε
1.02012=1.0201. Και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
1.082856705628081.1725786449237
1.374906785311
1.89046186
3.57384607
12.7723758
163.1335836
26612.5661173
708228675.3479
5.015878*1017
2.5159*1035 κ.ο.κ.
Τι θα γίνει όμως αν αντί για 1.01 βάλουμε 0.99 στη θέση του X; Θα πάρουμε τους εξής αριθμούς:
0.992=0.9801
0.98012=0.96059601 και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
0.922744
0.8514577710
0.724980
0.52559648
0.2762516676
7.631498390659*10-2
5.8239767*10-3
3.39187054019*10-5
1.150478*10-9
1.3236009*10-18
1.751919*10-36
3.06922188*10-72
9.420122*10-144
0.992=0.9801
0.98012=0.96059601 και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
0.922744
0.8514577710
0.724980
0.52559648
0.2762516676
7.631498390659*10-2
5.8239767*10-3
3.39187054019*10-5
1.150478*10-9
1.3236009*10-18
1.751919*10-36
3.06922188*10-72
9.420122*10-144
Είναι λοιπόν ξεκάθαρο προς τα που οδηγεί η μικρή αλλαγή του Χ από 1.01 σε 0.99, στο Χάος, στο απρόβλεπτο.
Νευρωνικά δίκτυα και χάος
Ενα ντετερμινιστικό σύστημα είναι - θεωρητικά - απόλυτα προβλέψιμο. Το μέλλον του καθορίζεται από το παρελθόν του. Στην πράξη, παρά το ότι ακολουθεί αυστηρούς και απλούς κανόνες, η συμπεριφορά του είναι τόσο πολύπλοκη που δεν επιτρέπει την πρόγνωση μακριά στο μέλλον. Είναι εντυπωσιακό, που τα νευρονικά δίκτυα μπορούν να προβλέψουν τη μελλοντική συμπεριφορά χαοτικών συστημάτων, με βάση μόνο μερικά παραδείγματα του "παρελθόντος" τους.Τα νευρονικά δίκτυα - ομάδες απλών μονάδων επεξεργασίας σε στρώματα πυκνά διασυνδεδεμένα μεταξύ τους - δεν προγραμματίζονται, διδάσκονται δια παραδειγμάτων.
Αν τα παραδείγματα είναι πάνω στη συμπεριφορά που προκαλεί το παρελθόν στο μέλλον , το δίκτυο αναπτύοσει ικανότητες πρόγνωσης.
Δεν έχει γίνει πλήρως αντιληπτό το πώς γίνεται αυτό, αλλά θεωρείται σαν μια μορφή αναγνώριοης επαναλαμβανομένων οταθερών "σχημάτων" (pattern recognition). Το δίκτυο βρίσκει σχήματα που τα αναγνωρίζει ότι οδηγούν σε ορισμένο μέλλον - κάτι σαν τις μαθηματικές καμπύλες που "ταιριάζουν" σε διάσπαρτα πειραματικά αποτελέσματα, αλλά σε πολυδιάστατους χώρους.
Αν τα παραδείγματα είναι πάνω στη συμπεριφορά που προκαλεί το παρελθόν στο μέλλον , το δίκτυο αναπτύοσει ικανότητες πρόγνωσης.
Δεν έχει γίνει πλήρως αντιληπτό το πώς γίνεται αυτό, αλλά θεωρείται σαν μια μορφή αναγνώριοης επαναλαμβανομένων οταθερών "σχημάτων" (pattern recognition). Το δίκτυο βρίσκει σχήματα που τα αναγνωρίζει ότι οδηγούν σε ορισμένο μέλλον - κάτι σαν τις μαθηματικές καμπύλες που "ταιριάζουν" σε διάσπαρτα πειραματικά αποτελέσματα, αλλά σε πολυδιάστατους χώρους.
Οι επιστήμονες του Κέντρου Μη-Γραμμικών Επιστημών του Los Αlamοs, χρησιμοποίησαν μικρά δείγματα χαοτικών δεδομένων για την εκπαίδευση νευρονικών δικτύων στην πρόγνωση της συμπεριφοράς των χαοτικών συστημάτων. Οι συμβατικές αριθμητικές μέθοδοι (με τις καμπύλες πρoσαρμογής που αναφέραμε) απέτυχαν, ενώ τα δίκτυα πέτυχαν καλά αποτελέσματα, που έδειχναν ότι "κατάλαβαν" τη δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων .
Αλλοι επιστήμονες χρησιμοποίησαν τις μαθημιατικές τεχνικές της θεωρίας του χάους για τη μελέτη του ανθριόπινου εγκεφάλου. Βρήκαν μάλιστα ενδείξεις ύπαρξης ορισμένων τύπων χάους στα ηλεκτροεγκεφαλογραφήματα ενός επιληπτικού και υγιών ανθρώπων σε κατάσταση ύπνου. Μερικό. πειράματα σε κουνέλια δείχνουν κάποιο ρόλο του χάους στη λειτουργία της μνήμης. Το χάος και τα νευρονικά δίκτυα φαίνεται λοιπόν ότι συνδέονται με κάποια σχέση!
Χάος και Θεωρία καταστροφής
Μαθηματική θεωρία, η οποία αποδίδει τις απότομες και αναπάντεχες μεταβολές της συμπεριφοράς ενός συστήματος σε ενδογενείς παράγοντες.
Κατά την θεωρία, οι εξωγενείς παράγοντες (πόλεμοι, φυσικές καταστροφές, πολιτικές αποφάσεις κ.λπ.), εφόσον συντρέξουν, μπορεί να επιτείνουν μια δημιουργηθείσα ενδογενώς ανισορροπία. Για να δημιουργηθεί ενδογενώς ανισορροπία, θα πρέπει το σχετικό σύστημα να περιγράφεται από ένα σύνολο μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων (διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών).
Η αιτία είναι το γεγονός της μη γραμμικότητας, η οποία επιτρέπει την, σε σύντομο χρονικό διάστημα, μεγάλη διεύρυνση κάποιων αρχικών αποκλίσεων μεταξύ τών θεωρητικών και πραγματικών τιμών μιάς μεταβλητής.
Κατά την θεωρία, οι εξωγενείς παράγοντες (πόλεμοι, φυσικές καταστροφές, πολιτικές αποφάσεις κ.λπ.), εφόσον συντρέξουν, μπορεί να επιτείνουν μια δημιουργηθείσα ενδογενώς ανισορροπία. Για να δημιουργηθεί ενδογενώς ανισορροπία, θα πρέπει το σχετικό σύστημα να περιγράφεται από ένα σύνολο μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων (διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών).
Η αιτία είναι το γεγονός της μη γραμμικότητας, η οποία επιτρέπει την, σε σύντομο χρονικό διάστημα, μεγάλη διεύρυνση κάποιων αρχικών αποκλίσεων μεταξύ τών θεωρητικών και πραγματικών τιμών μιάς μεταβλητής.
Η ανάπτυξη τής θεωρίας ξεκίνησε στα μέσα τής δεκαετίας τού 1950 όταν ο Αμερικανός μαθηματικός Benoit Mandelbrot ανέπτυξε την Κλασματική Γεωμετρία (Fractal Geometry) με την εισαγωγή τών κλασματικών διαστάσεων.
Στις αρχές τής δεκαετίας τού 1970 ο Γάλλος μαθηματικός Rene Τhοm παρουσίασε την Θεωρία τών Καταστροφών αξιοποιώντας τις προόδους στην Διαφορική Τοπολογία.
Η δεκαετία τού 1970 ήταν η περίοδος κατά την οποία οι θεωρητικές πρόοδοι που έδιδαν ποιοτικά συμπεράσματα, χρησιμοποιήθηκαν και για την εξαγωγή ποσοτικών εκτιμήσεων. Σ' αυτήν την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Άγγλος μαθηματικός Chrίstορher Zeeman, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο τού Γουόρικ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησε τις ιδιότητες των μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων, η συμπεριφορά των οποίων μελετάται, κυρίως, μέσω τού θεωρήματος τού Ροίncare και τής εξίσωσης του Lyapunov.
Στις αρχές τής δεκαετίας τού 1970 ο Γάλλος μαθηματικός Rene Τhοm παρουσίασε την Θεωρία τών Καταστροφών αξιοποιώντας τις προόδους στην Διαφορική Τοπολογία.
Η δεκαετία τού 1970 ήταν η περίοδος κατά την οποία οι θεωρητικές πρόοδοι που έδιδαν ποιοτικά συμπεράσματα, χρησιμοποιήθηκαν και για την εξαγωγή ποσοτικών εκτιμήσεων. Σ' αυτήν την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Άγγλος μαθηματικός Chrίstορher Zeeman, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο τού Γουόρικ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησε τις ιδιότητες των μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων, η συμπεριφορά των οποίων μελετάται, κυρίως, μέσω τού θεωρήματος τού Ροίncare και τής εξίσωσης του Lyapunov.
Η Θεωρία τού Χάους και τής Καταστροφής είναι μια Θεωρία Γενικής 1σορροπίας στην οποία γενικεύεται η έννοια τής ισορροπίας. Εδώ, ισορροπία δεν είναι η τάση επιστροφής τού συστήματος σε ένα απλό σημείο, αλλά σε ένα άλλο σύνολο σημείων , σύνολο το οποίο καλείται ελκυστής (attractor). Εάν το εν λόγω σύνολο καταλαμβάνει ολόκληρη επιφάνεια χωρίς συγκεκριμένη διάταξη, τότε λέγεται παράξενος ελκυστής (strange attractor).
Η ύπαρξη αυτού τού παράξενου ελκυστή προκαλεί το απρόβλεπτο τής συμπεριφοράς τού συστήματος. Σε μια τέτοια περίπτωση, μεγάλη βοήθεια στην μελέτη τής συμπεριφοράς τού συστήματος προσφέρει η Θεωρία τών Διχαλοδρομήσεων (Bifurcation Τheοry), σύμφωνα με την οποία όταν η αριθμητική τιμή μιάς παραμέτρου (καλουμένη «αργή μεταβλητή») υπερβεί ένα όριο, τότε εμφανίζονται πολλαπλές λύσεις με τάσεις συνεχούς διακλάδωσης τών λαμβανόμενων αριθμητικών αποτελεσμάτων.
Η ύπαρξη αυτού τού παράξενου ελκυστή προκαλεί το απρόβλεπτο τής συμπεριφοράς τού συστήματος. Σε μια τέτοια περίπτωση, μεγάλη βοήθεια στην μελέτη τής συμπεριφοράς τού συστήματος προσφέρει η Θεωρία τών Διχαλοδρομήσεων (Bifurcation Τheοry), σύμφωνα με την οποία όταν η αριθμητική τιμή μιάς παραμέτρου (καλουμένη «αργή μεταβλητή») υπερβεί ένα όριο, τότε εμφανίζονται πολλαπλές λύσεις με τάσεις συνεχούς διακλάδωσης τών λαμβανόμενων αριθμητικών αποτελεσμάτων.
Εάν το σύνολο τών σημείων ισορροπίας συρρικνωθεί σε ένα μόνο σημείο, τότε έχουμε την κλασική έννοια τού σημείου ισορροπίας (point attractor). Εκτός τών ελκυστών, υπάρχουν και σύνολα σημείων τα οποία εξωθούν το σύστημα σε ανισορροπία. Τα σημεία αυτά λέγονται «απωθητές» (repellors).
Η πρώτη εφαρμογή της Θεωρίας του Χάους και της Καταστροφής έγινε στην Μετεωρολογία από τον Αμερικανό μετεωρολόγο Ε. Lorenz περί τα μέσα τής δεκαετίας τού 1960. Στην επόμενη δεκαετία άρχισε να εφαρμόζεται και σε άλλες επιστήμες, όπως την ιατρική (καρδιακή αρρυθμία), την βιολογία (επιβίωση ειδών), την ψυχολογία (ανταρσίες φυλακισμένων), την μηχανική (στατική ισορροπία γέφυρας) κ.λπ.
Οι πρώτες εφαρμογές τής εν λόγω θεωρίας στα οικονομικά έγιναν περί τα τέλη τής δεκαετίας τού 1970 και κατά τις αρχές τής επομένης. Διάφοροι οικονομολόγοι, όπως ο Η. Varian, ο Μ. Stυtzer, ο Α. Day κ.ά., επανεξέτασαν διάφορα θέματα οικονομικού ενδιαφέροντος υπό το πρίσμα τής νέας προσέγγισης (π.χ. θεωρία τού Μάλθους, θεωρία οικονομικής ανάπτυξης, μικροοικονομική ισορροπία, μακροοικονομική ισορροπία, συμπεριφορά κεφαλαιοαγορών - χρηματιστηρίων, εξέλιξη τής συναλλαγματικής ισοτιμίας τού εθνικού νομίσματος, εξέλιξη τών επιτοκίων κ.λπ.).
Το γενικό συμπέρασμα που μέχρι στιγμής προκύπτει είναι η διαπίστωση ότι σε αρκετές περιπτώσεις τα οικονομικά φαινόμενα έχουν χαοτική συμπεριφορά (δηλαδή λόγω τής μη γραμμικότητάς τους είναι ενδογενώς ασταθή). Αυτό είναι περισσότερο εμφανές στα μικροοικονομικά μεγέθη, σε αντίθεση προς τα μακροοικονομικά, όπου η αναγκαστική ομαδοποίηση (aggregation) πολλές φορές καταστρέφει τον χαοτικό τους χαρακτήρα.
'Ενα άλλο συμπέρασμα είναι ότι η εφαρμογή αντικυκλικής οικονομικής πολιτικής, εφόσον δεν είναι με μεγάλη ακρίβεια ζυγισμένη ως προς την φορά, το μέγεθος και τον χρόνο, δρα μάλλον αποσταθεροποιητικά παρά εξισορροποιητικά. Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι μια τέτοια παρέμβαση μετατρέπει το οικονομικό σύστημα σε διαταραχθέντα ταλαντευτή (forced oscillator) δηλαδή οδηγεί εκτός ελέγχου το εύρος και την συχνότητα τής ταλάντευσης τής οικονομίας.
'Ετσι, η οικονομία είναι ενδεχόμενο, αντί τής σταθεροποίησης, να εμφανίσει πληθωριστικές ή υφεσιακές τάσεις, δεδομένου ότι η αντικυκλική πολιτική που ασκήθηκε έδωσε τέτοιες τιμές στις αργές οικονομικές μεταβλητές (π.χ. οριακή ροπή προς κατανάλωση, οριακή ροπή προς επένδυση κ.λπ.), ώστε να εξαναγκαστεί το σύστημα σε διχαλοδρομήσεις. Ανάλογα με τις επικρατούσες συνθήκες, οι εν λόγω διχαλοδρομήσεις μπορεί να είναι ασθενεις η ισχυρες, παρατεταμενες η συντομες.
Σε ό,τι αφορά, τέλος την μη γραμμικότητα τών μαθηματικών εξισώσεων που εκφράζουν τα οικονομικά φαινόμενα (προσφορά, ζήτηση, τιμές, ανεργία, επενδύσεις, κατανάλωση κ.λπ.) αυτό αποδίδεται στις τριβές και αδράνειες που χαρακτηρίζουν την διαδικασία λήψης τών σχετικών αποφάσεων.
Τα τελευταία χρόνια έχουν αναmυχθεί πολύπλοκες οικονομετρικές τεχνικές, κατάλληλες για τον στατιστικό εντοπισμό και την επεξεργασία τών οικονομικών ποσοτικών δεδομένων που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Εν τούτοις η προβλεπτική ικανότητα τών σχετικών μεθόδων, μέχρι στιγμής, φαίνεται περιορισμένη. Η έρευνα, παρ' όλα αυτά, συνεχίζεται, και στο μέλλον προσδοκάται μεγαλύτερη πρόοδος. '0μως, υπάρχει σκεπτικισμός ως προς το ανακοινώσιμο τών προόδων στον σχετικό τομέα, εάν ληφθούν υπ' όψιν τα τεράστια οικονομικά συμφέροντα (π.χ. πρόβλεψη κινήσεων χρηματιστηρίου) που μπορεί να προκύψουν από αυτές. 'Οπως κάποιος σημείωσε, «αυτός που ξέρει, δεν γράφει».Animation, εικόνες και προγράμματα για σύνολα Madelbrot-Julia
Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)
| | |
| | |
| | |
Η πρώτη από τα αριστερά εικόνα είναι το σύνολο Mandelbrot που προκύπτει κατά την μελέτη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c , όπου Ζ και c είναι μιγαδικσί αριθμοί.
Κάθε κυανό σημείο του καρδιοειδούς που παριστάνεται στο μιγαδικό επίπεδο αντιστοιχεί σε τιμή τού c, για την οποία προκύπτει ένα συνεκτικό σύνολο Julia (Ζυλιά). Το σύνολο Julia προκύπτει από την επανάληψη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c για όλα τα δυνατά Ζ και περιέχει εκείνα τα Ζ που απεικονίζονται στο άπειρο. Το σύνολο τού Mandelbrot έχει το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό να διατηρεί την εξαιρετικά πσλύπλοκη δομή του, όταν εστιάζσυμε σε ένα τμήμα του και το μεγεθύνουμε σε οποιαδήποτε κλίμακα, όπως φαίνεται στο πρώτο αριστερό σχήμα.
Κάθε κυανό σημείο του καρδιοειδούς που παριστάνεται στο μιγαδικό επίπεδο αντιστοιχεί σε τιμή τού c, για την οποία προκύπτει ένα συνεκτικό σύνολο Julia (Ζυλιά). Το σύνολο Julia προκύπτει από την επανάληψη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c για όλα τα δυνατά Ζ και περιέχει εκείνα τα Ζ που απεικονίζονται στο άπειρο. Το σύνολο τού Mandelbrot έχει το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό να διατηρεί την εξαιρετικά πσλύπλοκη δομή του, όταν εστιάζσυμε σε ένα τμήμα του και το μεγεθύνουμε σε οποιαδήποτε κλίμακα, όπως φαίνεται στο πρώτο αριστερό σχήμα.
Χάος και Αστρονομία
Ανάμεσα στις τροχιές του Άρη και του Δία, απλώνεται μια ζώνη που είναι γεμάτη από χιλιάδες συντρίμμια βράχων , με μέγεθος από μερικά μέτρα μέχρι μερικές δεκάδες χιλιόμετρα. Αυτοί είναι οι αστεροειδείς.
Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Jack Widsom του MIT έστρεψε την προσοχή του στους μηχανισμούς που καθορίζουν τις θέσεις των αστεροειδών . Οι αστεροειδείς δεν είναι ομαλά διεσπαρμένοι ανάμεσα στον Άρη και στο Δία.
Αντίθετα υπάρχουν διάκενα στην κατανομή τους. Μερικά απ' αυτά τα χάσματα ονομάζονται διάκενα Κέρκγουντ. Ενα αντικείμενο που κινείται σε μια τέτοια περιοχή, υποβάλλεται σε επανειλημμένες βαρυτικές παρέλξεις εξαιτίας του γίγαντα Δία και παρεκκλίνει γρήγορα αφήνοντας ένα διάκενο Κέρκγουντ.
Ο Wisdom ανακάλυψε ότι οι παρέλξεις του Δία δημιουργούν μια χαοτική ζώνη στο διάκενο. Τα σωματίδια που περιπλανώνται μέσα στο διάκενο καταφθάνουν με πολλές διαφορετικές αρχικές καταστάσεις. Εξαιτίας της χαοτικής ζώνης, τα σωματίδια καταλήγουν να κινούνται με ριζικά διαφορετικό τρόπο. 'Εται πολλά απ' αυτά εκσφενδονίζονται προς την κατεύθυνση της Γης ή του Άρη.
Ο Wisdom ανακάλυψε ότι ένας στους πέντε αστεροειδείς που παρεκκλίνουν -δημιουργώντας ένα διάκενο Κέρκγουντ- μπορεί να φτάσει μέχρι την τροχιά της Γης. Το πρόβλημα του αν υπάρχουν αστεροειδείς που ξεφεύγουν από την τροχιά τους και διασχίζουν την τροχιά της Γης, είναι κάτι πολύ περισσότερο από ένα ακαδημαίκό ερώτημα: η σύγκρουση ακόμα κι ενός μικρού αστεροειδoύς με τη Γη μπορεί να επιφέρει ασύλληπτες καταστροφές.
Αντίθετα υπάρχουν διάκενα στην κατανομή τους. Μερικά απ' αυτά τα χάσματα ονομάζονται διάκενα Κέρκγουντ. Ενα αντικείμενο που κινείται σε μια τέτοια περιοχή, υποβάλλεται σε επανειλημμένες βαρυτικές παρέλξεις εξαιτίας του γίγαντα Δία και παρεκκλίνει γρήγορα αφήνοντας ένα διάκενο Κέρκγουντ.
Ο Wisdom ανακάλυψε ότι οι παρέλξεις του Δία δημιουργούν μια χαοτική ζώνη στο διάκενο. Τα σωματίδια που περιπλανώνται μέσα στο διάκενο καταφθάνουν με πολλές διαφορετικές αρχικές καταστάσεις. Εξαιτίας της χαοτικής ζώνης, τα σωματίδια καταλήγουν να κινούνται με ριζικά διαφορετικό τρόπο. 'Εται πολλά απ' αυτά εκσφενδονίζονται προς την κατεύθυνση της Γης ή του Άρη.
Ο Wisdom ανακάλυψε ότι ένας στους πέντε αστεροειδείς που παρεκκλίνουν -δημιουργώντας ένα διάκενο Κέρκγουντ- μπορεί να φτάσει μέχρι την τροχιά της Γης. Το πρόβλημα του αν υπάρχουν αστεροειδείς που ξεφεύγουν από την τροχιά τους και διασχίζουν την τροχιά της Γης, είναι κάτι πολύ περισσότερο από ένα ακαδημαίκό ερώτημα: η σύγκρουση ακόμα κι ενός μικρού αστεροειδoύς με τη Γη μπορεί να επιφέρει ασύλληπτες καταστροφές.
Οι περισσότεροι αστεροειδείς βρίσκονται σε τροχιές ανάμεσα στον Αρη και Δία, και ο θεωρητικός υπολογισμός των τροχιών τους με τη βοήθεια των computers δείχνει πως οι τροχιές αυτών των αντικειμένων είναι εμφανώς χαοτικές, τόσο ώστε για μερικούς να είναι αδύνατη η μελέτη των τροχιών τους, άρα και η πρόβλεψη από που θα περάσουν, για χρονικό διάστημα μεγαλύτερο των 100 χρόνων.
Το 1909 ένα ουράνιο σώμα διαμέτρου 50m έπεσε κοντά στον ποταμό Τογκούσκα της Σιβηρίας, προκαλώντας τεράστιες καταστροφές στα δάση της περιοχής. Στις 22 Μαρτίου 1989, ο αστεροειδής 1989FC πέρασε σε απόσταση "μόνο" 680.000 χλμ. από τη Γη, δηλαδή "ξυστά", αν λάβουμε υπ' όψη μας τις τεράστιες αποστάσεις μεταξύ των πλανητών. Σε πτώση ενός αστεροειδούς οφείλεται και η δημιουργία ενός κρατήρα πριν από 200 εκατομμύρια χρόνια, στο Κεμπέκ του Καναδά, που σήμερα αποτελεί τη λίμνη Manicouagan.
Αλλά οι περισσότερες και μεγαλύτερες καταστροφές ήρθαν στην σφοδρότερη σύγκρουση που έγινε ποτέ. Πριν από 65 εκατομμύρια χρόνια ένας αστεροειδής με διάμετρο περίπου 10 km, έπεσε στις ακτές του Μεξικού, και η καταστροφή που προκάλεσε ήταν παγκόσμια. Μάλιστα πιστεύεται πως την εποχή αυτή εξαφανίστηκαν οι δεινόσαυροι, που κυριαρχούσαν πάνω στον πλανήτη μας για εκατοντάδες εκατομμύρια χρόνια.
Στο διάκενο Κέρκγουντ που βρίσκεται σε απόσταση 2,5 αστρονομικών μονάδων από τον 'Ηλιο, υπάρχουν δυο αστεροειδείς -η Αλίντα κι ο Κουετζαλκοάτλ- που βρίσκονται σε συντονισμό με το Δία. Ο αστεροειδής 1989AC που το 2004 θα περάσει σε απόσταση ενάμισι εκατομμυρίου χιλιομέτρων από τη Γη βρίσκεται κι αυτός μάλλον σε συντονισμό με το Δία.
Το Σεπτέμβριο του 2000, δύο καναδοί επιστήμονες ανακάλυψαν ένα αστεροειδή που του έδωσαν το κωδικό όνομα 2000 SG344, και ο οποίος πλησιάζει τον πλανήτη μας κάθε 30 χρόνια περίπου. Μετά από τις πρώτες προβλέψεις, πως ο αστεροειδής αυτός θα μας πλησίαζε το 2030, νεώτερες και πιό ακριβείς προβλέψεις λένε πως θα επισκεφθεί την γειτονιά μας, το 2071.
Το Σεπτέμβριο του 2000, δύο καναδοί επιστήμονες ανακάλυψαν ένα αστεροειδή που του έδωσαν το κωδικό όνομα 2000 SG344, και ο οποίος πλησιάζει τον πλανήτη μας κάθε 30 χρόνια περίπου. Μετά από τις πρώτες προβλέψεις, πως ο αστεροειδής αυτός θα μας πλησίαζε το 2030, νεώτερες και πιό ακριβείς προβλέψεις λένε πως θα επισκεφθεί την γειτονιά μας, το 2071.
Τα τελευταία 10 χρόνια, οι προσπάθειες συγκλίνουν στο να ανακαλύψουμε πρώτον ποιοί μεγάλοι αστεροειδείς έχουν πιθανότητα να περάσουν κοντά στη Γη και δεύτερον πως μπορούμε να αποτρέψουμε μια ενδεχόμενη σύγκρουση. Ανακαλύφθησαν περίπου 250 αστεροειδείς, αλλά ευτυχώς κανένας δεν περνάει τόσο κοντά που να μας κάνει να τρομοκρατηθούμε. Αλλά κανείς δεν ξέρει λόγω της χαοτικής τροχιάς των αστεροειδών αν στο μέλλον δεν εμφανιστεί κάποιος που θα απειλήσει τη ζωή πάνω στη Γη.
